11.74. Рациональные точки на кубических кривых 0-го рода

Можно сомневаться, что у Ферма было правильное доказательство последней теоремы Ферма, потому что в большей части его работы рассматриваются кривые низкой степени 4) и, весьма маловероятно, что он мог предвидеть сведение Фреем задачи Ферма степени к вопросу о кубических кривых. Надо признаться, что мы не знаем наверняка, каковы были методы Ферма, и он не говорил на языке отыскания рациональных точек на кривых. Тем не менее, это самый естественный путь интерпретации его решений диофантовых уравнений и установления связи между ними и более ранними и поздними результатами в том же роде Диофанта и Эйлера, соответственно. Мы уже описывали методы отыскания рациональных точек на кривых 2-й (в разделе 1.3) и 3-й (в разделе 3.4) степени. Теперь мы вновь исследуем их с точки зрения

рода, который становится все более и более важным, так как рассматриваются кривые более высокой степени. В этом разделе мы ограничим свое внимание родом.

Одно из свойств кривой С 2-й степени, которую мы наблюдали в разделе 1.3, заключается в том, что рациональная линия проходящая через рациональную точку на С, пересевает С во второй рациональной точке, при условии, что уравнение С имеет рациональные коэффициенты. К тому же, получаем таким образом все рациональные точки на С, вращая вокруг С. Есть еще одно важное следствие этого построения, не зависящее от рациональности С или Оно состоит в том, что выражая координаты на основе наклона линии мы получаем параметризацию С рациональными функциями (напомним, что рациональные функции необязательно имеют рациональные коэффициенты).

Например, это построение на круге в разделе 1.3 дает параметризацию

(рисунок 11.2). Кривые 0-го рода можно определить как кривые, которые допускают параметризацию рациональными функциями. Сейчас я поважу, что 0-й род включает некоторые кубические кривые, применяя похожее построение к декартову листу.

Рисунок 11.2: Параметризация на круге

Лист как кривая был определен в разделе 7.3 уравнением

Начало координат О — очевидная рациональная точка на листе; более того, О — это двойная точка кривой, как становится ясно из рисунка 11.3. Линия проходящая через О, пересевает, поэтому, лист в еще одной точке и изменение дает все другие точки на кривой. Найдя координаты как функции мы поэтому получаем параметризацию.

Чтобы найти мы подставляем в (1), получая

следовательно,

и

и, поэтому

(Эти параметрические уравнения в упражнении 7.3.1 были выведены из ничего.) Похожее построение применяется к любой кубической кривой с двойной точкой, или в более общем смысле, к любой кривой степени -кратной точкой; следовательно, все такие кривые 0-го рода.

Рисунок 11.3: Параметризация листа

Упражнения

(см. скан)

роду. Из раздела 11.5 мы знаем, что кубические кривые 1-го рода не могут иметь двойных точек, и, фактически, они также не могут иметь точек возврата, потому что оба этих случая приводят к рациональным параметризациям. (Что касается одного случая точки возврата, см. упражнение 7.4.1.) Мы еще должны показать именно те функции, которые действительно параметризуют кубические кривые 1-го рода. Такие функции, эллиптические функции, определили лишь в девятнадцатом веке, и их впервые использовал Клебш (1864), чтобы параметризовать кубические кривые.

Многие ключи к существованию эллиптических функций были известны до этого, но, на первых порах, представлялось, что они указывают в других направлениях. Вначале тайна заключалась в том, как Диофант и Ферма выработали решения диофантовых уравнений. Интерпретация их результатов Ньютоном (1670-е гг.) с помощью хордово-касательного построения (раздел 3.5) прояснила эту первую тайну, или прояснила бы, если бы кто-нибудь заметил ее в то время. Но прежде, чем математики действительно осознали хордово-касательное построение, они должны были объяснить несколько приводящих в замешательство зависимостей между интегралами функций, такими как найденными Фагнано (1718) и Эйлером (1768). В конце концов, Якоби (1834) заметил, что хордово-касательное построение объясняет эту тайну тоже. Объяснение Якоби было загадочным и, несмотря на то, что эллиптические функции были известны в то время в связи с интегралами, теория чисел и теория кривых их полностью не впитали до появления Пуанкаре (1901).

Аналитические истоки эллиптических функций будут объяснены в следующей главе. В этом разделе мы подготовим связь с этой теорией, выведя алгебраическую зависимость между коллинеарными точками на кубической кривой. [Более глубокая трактовка всей истории вопроса есть у Вейля (1984)].

Мы начнем с формы уравнения для кубической кривой Ньютона (раздел 7.4):

Рисунок 11.4 показывает эту кривую, когда для трех различных действительных значений х.

Рисунок 11.4: Коллинеарные точки на кубической кривой

В разделе 3.5 мы нашли, что, если рациональны, и, если рациональные точки на кривой, то прямая линия через пересевает кривую в третьей рациональной точке Если

уравнение этой прямой линии имеет вид

то результат подстановки (2) в (1) — уравнение

для х координат трех точек Но если корни (3) — его левая часть должна иметь вид

В частности, коэффициент должен быть

Сравнивая это с фактическим коэффициентом в (3), мы находим

следовательно,

Если то и подставляя это в (4), мы, наконец, получаем

задавая как явную рациональную комбинацию координат Если рациональные точки, то (5) показывает, что (и, следовательно, также рационален, как мы уже знали.

Что неожиданно, так это то, что (5) также является теоремой сложения для эллиптических функций. Это влечет следствие, что кривая может быть параметризована эллиптическими функциями так что (5) — именно уравнение, выражающее на основе Поэтому построение прямой линии от также можно интерпретировать как сложение значений параметров, Первые теоремы сложения были найдены Фагнано (1718) и Эйлером (1768) посредством преобразования интегралов. Эйлер осознал, что имелась связь между тагами преобразованиями и теорией чисел, но так и не смог полностью понять ее. Еще раньше, Лейбниц подозревал о такой связи, когда он писал:

Я...помню, что предложил (что могло показаться кое-кому странным), что прогресс в нашем интегральном исчислении милостиво зависит от развития того типа арифметики, который, насколько нам известно, первым систематически рассмотрел Диофант.

[Лейбниц (1702), в переводе Вейля (1984)]

Якоби (1834), видимо, в первый раз увидел связь после получения тома трудов Эйлера о преобразовании интегралов, но необходимо было значительное прояснение эллиптических функций прежде, чем понимание Якоби стало широко доступным. Мы опишем некоторые из основных шагов в этом процессе прояснения в главах 12 и 16.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)