18.121. Проективная модель Бельтрами
Интерес к гиперболической геометрии вновь разгорелся в 1860-х гг., когда вышла в свет неопубликованная работа Гаусса, который умер в 1855 году. Узнав, что Гаусс серьезно воспринял
гиперболическую геометрию, математики стали более восприимчивы к неевклидовым идеям. Труды Бойяи и Лобачевского извлекли из забвения, и, подходя к ним с точки зрения дифференциальной геометрии, Бельтрами (1868а) смог дать им конкретное объяснение, которое ускользало от его предшественников.
Бельтрами интересовался геометрией поверхностей, и он нашел поверхности, которые можно было отобразить на плоскость таким образом, что их геодезические тянулись до прямых линий [Бельтрами (1865)]. Именно они оказались поверхностями постоянной кривизны. В случае положительной кривизны, сферы, такое отображение является центральной проекцией на касательную плоскость (рисунок 18.5), хотя, конечно, это отображает только половину сферы на всю плоскость.
Отображения поверхностей постоянной отрицательной кривизны, с другой стороны, занимают всю поверхность только на части плоскости. Рисунок 18.6, переделанный из Клейна (1928), показывает некоторые из этих отображений (среднее является псевдосферой).
Рисунок 18.5: Центральная проекция
Рисунок 18.6: Отображения, сохраняющие геодезические
Всякая отрицательно искривленная поверхность 
отображается на часть единичного диска. Бельтрами (1868а) осознал, что диск тогда можно рассматривать как естественное расширение 
до «бесконечной плоскости», обходя тагам образом проблему построения «плоскообразных» поверхностей постоянной отрицательной кривизны в обыкновенном пространстве. Вместо этого, считаем диск «плоскостью», отрезки линий внутри него «линиями» и «расстояние» между двумя точками диска — расстоянием между их точками-прообразами на поверхности 
Функция 
задающая таким образом «расстояние» между точками 
диска, оказывается значащей для всех точек внутри единичного круга, поэтому понятие «расстояния» распространяется на весь открытый диск. По мере того, как 
приближается к единичному кругу, 
стремится к бесконечности, поэтому «плоскость», и, следовательно, «линии» в ней, действительно, бесконечны относительно этого нестандартного «расстояния».
Отсюда следует, что все аксиомы Евклида, кроме аксиомы о параллельных, удовлетворяются новой интерпретацией «плоскости», «линии» и «расстояния». Вместо аксиомы о параллельных, имеем, конечно, Аксиому 
поскольку через точку 
вне заданной «линии» 
проходит больше одной «линии» (рисунок 18.7).
Рисунок 18.7: Несостоятельность аксиомы о параллельных
Бельтрами также заметил, что движения твердого тела «плоскости», поскольку они сохраняют прямые линии, обязательно являются проективными преобразованиями. Это как раз те проективные преобразования плоскости, которые отображают единичный круг на себя. Поэтому эта модель гиперболической плоскости часто называется проективной моделью. Кэли (1859) уже заметил, что эти проективные преобразования можно было использовать для определения «расстояния» 
в единичном диске, сказав, что 
если преобразование, сохраняющее единичный круг, посылает 
и 
но он не осознал, что полученная геометрия была геометрией Бойяи и Лобачевского.
Проективная модель не полностью заменяет псевдосферу, поскольку она остается источником «действительных» расстояний и углов, тогда как в проективной модели они обязательно искажаются. Одна из отличительных кривых гиперболической плоскости, орицикл, или круг с центром в бесконечности, особенно ясно показана на псевдосфере. Если представить, вслед за Бельтрами (1868а), псевдосферу, обернутую бесконечно многими витками бесконечно тонкого покрытия, то край этого покрытия (вдоль кромки псевдосферы) является орициклом. Средняя картинка рисунка 18.6 показывает образ одного витка покрытия псевдосферы, нарисованного сплошной линией, а орициклы, получающиеся в результате длительной распаковки, показаны пунктирными линиями.
Упражнения
(см. скан)
