23.157. Множества

Множества утвердились в математике в конце девятнадцатого века как результат попыток ответить на некоторые вопросы о действительных числах. Первый, что есть действительное число? Около 1870 г. были даны несколько эквивалентных ответов, все они включали бесконечные множества или последовательности. Простейший принадлежал Дедекинд} (1872), который определил, что действительное число есть разбиение (или «разрез») рациональных чисел на два множества, так что каждый элемент меньше всех членов Если есть заранее сложившееся понятие действительного числа, такое как точка х на оси, то однозначно определены х как множества рациональных точек слева и справа от нее, соответственно. Поэтому, если х заранее сложившееся понятие, то не более, чем вспомогательные понятия, которые дают возможность оперировать х на основе рациональных чисел, как делал Евдокс (раздел 4.2). Прорыв Дедекинда заключался в осознании того, что нет необходимости в заранее сложившемся можно определить как пару Поэтому понятие множеств рациональных чисел было основой для понятия действительного числа.

Дедекиндовы сечения дали точную модель для непрерывной числовой оси поскольку они заполнили все пробелы в рациональных числах. Несомненно, где бы ни был пробел в рациональных числах, действительное число, которое заполняет его, по существу, само является пробелом: парой множеств слева и справа от него. Другие формулировки этого свойства полноты также являются непосредственными следствиями определения Дедекинда. Например, всякое ограниченное множество действительных чисел имеет наименьшую верхнюю границу просто объединение множеств

Дедекинд, видимо, разрешил древнюю задачу объяснения непрерывного на основе дискретного, но проникнув настолько далеко, насколько проникнул он, он также раскрыл более глубокие задачи. Центральная проблема состоит в том, что полнота влечет за собой его

несчетность, явление, открытое Кантором (1894). Счетные множества — это множества, которые можно поставить во взаимно однозначное соответствие с и они включают множество рациональных чисел и множество алгебраических чисел, что также открыто Кантором. Но если счетное, это означает, что все действительные числа можно включить в последовательность Кантор (1874) показал, что это невозможно, выбрав из каждой последовательности различных действительных чисел подпоследовательность а так что

и с каждым за пределами одного из вложенных интервалов Отсюда следует, что любой общий элемент всех это действительное каждому Общий элемент, очевидно, существует, если последовательность интервалов конечна, и, если последовательность бесконечна, она существует по полноте, как наименьшая верхняя граница Общий элемент это «пробел» в данной последовательности

Несчетность была сложной задачей для специалистов по теории множеств и логиков с тех пор как ее открыли. Самым успешным ответом на эту задачу была теория порядковых чисел, которая выросла из исследования ряда Фурье Кантором (1872) (см. раздел 13.4). Существование ряда Фурье для функции в значительной степени зависит от структуры множества разрывностей и поэтому приводит к задаче анализа сложности точечных множеств. Кантор измерял сложность количеством итераций операций со штрихом принятия предельных точек множества. Например, если то операцию со штрихом можно применить один раз, и Может случиться так, что само имеет предельные точки, поэтому также существует Действительно, можно найти множество для которого существуют для всех конечных поэтому можно предусмотреть процесс итерации операции со штрихом бесконечное количество раз. В случае, когда существуют все Кантор (1880) взял их пересечение, определяя в связи с этим

Он рассмотрел как первое бесконечное порядковое число. Для того чтобы избежать смешения с бесконечными числами более высокого порядка, которые вскоре появятся, я буду использовать современное обозначение для первого бесконечного порядкового числа.

Перескочив к легко идти дальше. и пересечение этой новой бесконечной последовательности равно 2, где первое бесконечное порядковое число после После имеем

Всех их фактически можно реализовать как количества итераций операции со штрихом на множествах действительных чисел. Мы можем также исследовать порядковые числа независимо от этого понимания, как расширение понятия натурального числа.

Кантор (1883) рассматривал порядковые числа как порожденные двумя операциями:

1) Последующий элемент, который для каждого порядкового а дает следующее порядковое а

2) Наименьшая верхняя граница, которая для каждого множества порядковых чисел дает наименьшее порядковое каждого

Самая элегантная формализация этих понятий дана фон Нейманом (1923). Принимается, что пустое множество (не рассмотренное Кантором) — это порядковое число 0, последующий элемент а — это и наименьшая верхняя граница просто объединение Поэтому

и т. д. Естественное упорядочение порядковых чисел задается тогда принадлежностью множеству, и, в частности, члены порядкового а — все порядковые числа меньше а.

Принцип Кантора 2) порождает порядковые числа поразительной величины, поскольку он дает возможность выйти за пределы любого уже определенного множества порядковых чисел. В частности, порядковое число несчетной величины находится на горизонте, как только подумаешь о понятии счетного порядкового числа, как Кантор (1883).

Он определил, что порядковое а является счетным (или, как позже он это выразил, имеет мощность или кардинальное число если можно поставить а во взаимно однозначное соответствие с Например,

счетное из-за своего очевидного соответствия

Наименьшая верхняя граница счетных порядковых чисел — наименьшее несчетное порядковое Множества во взаимно однозначном соответствии с имеют следующую мощность Порядковые числа мощности имеют наименьшую верхнюю границу мощности и т.д.

Найдя этот упорядоченный способ порождения последовательных несчетных мощностей, Кантор вновь рассмотрел несчетное множество Хотя ни один метод порождения членов в образе порядковых чисел не был ясен, Кантор предположил, что мощность равнялась Это предположение с тех пор известно как гипотеза о континууме. К 1900 году ее признали как выдающуюся открытую задачу теории множеств, и Гильберт (1900а) поставил ее на первое место в знаменитом списке задач, который он представил математическому сообществу. С 1900 года в задаче о континууме появилось два выдающихся результата, но они, по-видимому, уменьшают вероятность того, что мы когда-нибудь узнаем, верна ли гипотеза о континууме. Гёдель (1938) показал, что гипотеза о континууме не противоречит стандартным аксиомам теории множеств, но Коуэн (1963) показал, что ее отрицание также не противоречит. Поэтому гипотеза о континууме независима от стандартной теории множеств, таким же образом, как постулат о параллельных независим от других постулатов Евклида. Означает ли это, что понятие «множества» открыто для различных естественных интерпретаций, как понятие «прямой линии», по-прежнему не ясно.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)