16.108. Эллиптические кривые

Мы видели, что несингулярные кубические кривые вида

важны не только среди самих кубических кривых (см. классификацию Ньютона, разделы 7.4 и 8.4), но также в теории чисел (раздел 11.6)

и теории эллиптических функций (раздел 12.2). Одним из значительных достижений математики девятнадцатого века был синтез единой точки зрения на все эти проявления кубических кривых. Единая точка зрения впервые промелькнула у Якоби (1834) и яснее выдвинулась в центр внимания с развитием комплексного анализа от Римана (1851) до Пуанкаре (1901). Теория эллиптических кривых, в качестве которой получила известность единая точка зрения, продолжает вдохновлять исследователей и сегодня, так как она, видимо, охватывает некоторые из самых очаровательных задач теории чисел. Мы теперь, например, знаем, как вывести последнюю теорему Ферма из свойств эллиптических кривых (см. раздел 11.3).

Якоби увидел, по крайней мере в неявном виде, что кривую (1) можно параметризовать как (2)

где и ее производная эллиптические функции. Зная, что двояко-периодические, с одинаковыми периодами, скажем, он, наверное, увидел, что это давало отображение плоскости С на кривую (1), для которого прообраз заданной точки на (1) — множество точек в С вида

где

называется решеткой периодов Числа также называются «эквивалентными относительно Л». Один такой класс эквивалентности показан звездочками на рисунке 16.2. Рисунок 16.2: Решетчато-эквивалентные точки Параметризация (2) означает, что между точками кривой и классами эквивалентности z К имеется взаимно однозначное соответствие. Сегодня мы выражаем эту зависимость, говоря, что кривая — изоморфна пространству этих классов эквивалентности. Якоби мог увидеть, хотя, вероятно, это не представляло для него интереса, что тор. Это видно, если взять один параллелограмм в С, который включает представителя каждого класса эквивалентности, и идентифицировать эквивалентные точки на его границе (то есть, склеить друг с другом противоположные стороны, как на рисунке 16.3). Конечно, форма тора (1) обнаружилась при помощи построения римановой поверхности, приведенного в главе 15.4.

Рисунок 16.3: Построение тора склеиванием

Элегантный способ демонстрации как двойной периодичности эллиптических функций, так и параметризации кубических кривых был дан Вейерштрассом (1863). Начиная с функции

которая, как говорилось в разделе 16.4, делает двойную периодичность очевидной, Вейерштрасс определил функцию

которая имеет лучшие свойства сходимости, и, которая также двояко-периодическая. Затем он показал при помощи простых вычислений с рядом, что

где — постоянные, зависящие от которые были определены в разделе 16.4. Отсюда следует, что точка лежит на кривой

и дальнейшая небольшая проверка показывает, что (3), в сущности, изоморфна где решетка периодов Параметризация всех кривых (1) с помощью эллиптических функций следует за проведением линейного преобразования.

Как только кривая (1) параметризована как

видно естественное «сложение» точек на кривой, вызванное сложением значений их параметров. Из-за двойной периодичности это «сложение» является просто обыкновенным сложением в С, по модулю В частности, непосредственно следует, что «сложение точек» имеет некоторые свойства обыкновенного сложения, такие как коммутативность и ассоциативность. Однако, как указывалось в разделе 11.6, сложение значений параметра также отражается в геометрии кривой. Самая сжатая формулировка зависимости, благодаря Клебшу (1864),

следующая: если значения параметров трех коллинеарных точек, тогда

Это означает, что «сложение точек» также имеет элементарную геометрическую интерпретацию, для которой, между прочим, алгебраические свойства гораздо менее очевидны.

С другой стороны, прямолинейная интерпретация «сложения» дает простейшее объяснение теорем сложения для эллиптических функций. Как мы видели в разделе 11.6, значение легко вычислить как рациональную функцию когда значения параметров коллинеарных точек. Первоначально, конечно, формула была получена Эйлером, со значительными трудностями, с помощью манипуляций с интегралом, обратным (см. раздел 12.5).

Еще одна причина принять как «правильное» представление кривой состоит в том, что оно дает ответ на казалось бы несвязанный вопрос классификации при помощи проективной эквивалентности. Напомним из раздела 8.4, что Ньютон сократил кубические кривые до типов: с точкой возврата, двойной точкой и тремя несингулярными, используя действительные проективные преобразования. Все кубические кривые с точкой возврата, в сущности, эквивалентны а все с двойной точкой эквивалентны тогда как различие между несингулярными типами исчезает над комплексными числами, где, как мы сегодня знаем, все они эквивалентны торам Задача, которая остается: принять решение о проективной эквивалентности среди несингулярных кубических кривых. Салмон (1851) показал, что это определяется некоторым комплексным числом которое следует вычислять из уравнения кривой. Он определил геометрически, так что его проективная инвариантность была очевидной, без мысли об эллиптических функциях. Но оказалось ничем иным, как что означает, что две несингулярные кубические кривые проективно эквивалентны тогда и только тогда, когда решетки их периодов имеют одинаковый вид.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)