6.37. Деление углов

Еще одним человеком, внесшим важный вклад в алгебру в шестнадцатом веке, был Виет (1540-1603). Он помог освободить алгебру от геометрического стиля доказательства, введя буквы для неизвестных и используя знаки «плюс» и «минус», чтобы облегчить операции. Тем не менее, в то же время он укрепил ее связи с геометрией на более высоком уровне, связав алгебру с тригонометрией. Имеется в виду его решение кубического уравнения с помощью тригонометрических функций [Виет (1591), гл. VI, теорема 3], которое показывает, что решение кубического уравнения эквивалентно делению произвольного угла на три (равные) части.

Если мы возьмем кубическое уравнение вида

мы можем свести его к уравнению

только с одним параметром, полагая и выбирая к, так что

Суть выражения такова, что

следовательно, полагая мы получаем

Если нам дано с, тогда мы можем построить треугольник с углом Трисекция этого угла дает нам решение в уравнения. Обратно, задача трисекции угла с косинусом с эквивалента решению кубического уравнения

[Конечно, есть проблема с тригонометрической интерпретацией, когда , которая требует комплексных чисел для своего разрешения. Комплексные числа также включены в формулу Кардано, поскольку выражение под знаком квадратного корня может быть отрицательным. Происходит так, что метод Виета требует

комплексных чисел только, когда их не требует метод Кардано, поэтому между ними обоими комплексные числа устранимы. Тем не менее, кубические уравнения — это место рождения комплексных чисел, как мы увидим, когда позже будем подробнее изучать комплексные числа.] Удивительно, задача деления угла на любое нечетное число равных частей оказывается имеет алгебраическое решение, аналогичное алгебраическому решению кубического уравнения. Сам Виет (1579) взялся за задачу отыскания выражений для как многочленов в по крайней мере, для некоторых значений Ньютон прочитал Виета в 1663-4 гг. и нашел уравнение

связывающее [см. Ньютон (1676а) у Тернбулла (1960)]. Он доказал этот результат для произвольного но нас интересует случай нечетного интегрального когда оно сводится к полиномиальному уравнению. Сюрприз заключается в том, что в таком случае уравнение Ньютона имеет решение по корням, аналогичное формуле Кардано для кубических уравнений,

хотя только для вида Эта формула совершенно неожиданно появляется у де Муавра (1707). [Она также появляется в неопубликованном труде Лейбница (1675), хотя без ограничения на См. Шнейдер (1968), стр. Он не объясняет, как он нашел ее, но она понятна нам как

следствие нашего варианта формулы де Муавра

когда (см. упражнения 6.6.1 и 6.6.2)

Сам Виет подошел к (3) удивительно близко в опубликованном посмертно труде [Виет (1615)]. Он заметил, что произведения которые встречаются в это чередующиеся члены в разложении если не считать некоторых знаков «минус».

Ему не удалось лишь заметить, что эти знаки можно было объяснить, задав коэффициент В любом случае, такое объяснение, видимо, показалось бы неестественным его современникам, которые чувствовали себя гораздо удобнее с формулой Кардано, чем с В разделе 14.5 мы увидим, как изменилось восприятие формулы де Муавра с развитием комплексных чисел.

Упражнения

(см. скан)