Глава 21. Алгебраическая теория чисел

21.140. Алгебраические числа

Целые числа — простейшие объекты в математике, но, как показывает история, их секреты глубоко скрыты. Для того чтобы внести ясность в видимо простое понятие целого, аппелировали к широкому кругу математических дисциплин, тагах как геометрия, алгебра и анализ. В частности, по-видимому, полезно более широкое само понятие числа. В разделе 5.4, например, мы видели, как можно вывести целочисленные решения уравнения Пелля при помощи иррациональных чисел вида и в разделе 10.6, как число помогает объяснить таинственную последовательность чисел Фибоначчи. Это примеры способа, которым алгебраические числа помогают пролить свет на поведение целых.

В девятнадцатом веке развилась мощная теория алгебраических чисел, с целью пролить больше света на теорию обыкновенных чисел. В этом отношении она была весьма успешной, но она также жила собственной жизнью, и в двадцатом веке ее понятия впитали абстрактные теории колец, полей и векторных пространств. Позже в этой главе мы кратко расскажем, как это произошло, но наша главная цель — объяснить саму теорию алгебраических чисел, стимул для всего этого развития.

Сначала нам следует сформулировать определение: алгебраическое число — это число, которое удовлетворяет уравнению вида

Символ для целых чисел Z происходит от немецкого слова «Zahlen», означающего «числа». Мы иногда называем их «обыкновенными» или рациональными, целыми, чтобы не смешивать с алгебраическими целыми числами, определенными в разделе 21.3.

Алгебраические числа очевидно включают (решение ), , (решение ) и менее очевидно упражнение 21.1.1). Первыми математиками, которые систематически использовали алгебраические числа в теории чисел, были Лагранж и Эйлер приблизительно в 1770 году. Эффектный пример дан Эйлером (1770), когда он использовал алгебраическое число чтобы доказать следующее утверждение Ферма: единственное положительное решение в целых числах самом деле, уравнение восходит к Диофанту, который упомянул его решение в целых числах в своей книге VI, задаче 17.)

Доказательство Эйлера неполное, но, по существу, правильное, и позже мы завершим его при более близком изучении множества чисел а где Оно проходит следующим образом.

Предположим, что целые числа, так что Тогда

Допуская, что числа вида а «ведут себя» как обыкновенные целые числа, мы можем сделать вывод, что кубы (поскольку их произведение — куб То есть, имеются так что

Уравнивая действительную и мнимую части, мы получаем

Теперь единственные целые произведения, равные 1, — это следовательно, поэтому из второго уравнения Тогда единственное положительное решение для х имеет место при в этом случае следовательно,

Этот удивительный полет фантазии, что числа а «ведут себя» как обыкновенные целые, можно действительно обосновать. Он зависит от теории делимости в которая оказывается похожей на делимость в уже изученную в разделе 3.3.

Упражнения

(см. скан)