12.80. Удвоение дуги лемнискаты
Теорема сложения — это формула, выражающая 
в понятиях 
возможно, также 
Например, теорема сложения для синусоидальной функции имеет вид
Поскольку производная 
равна 
мы также можем записать теорему сложения как
показывая, что 
алгебраическая функция 
и 
Для того, чтобы упростить сравнение с эллиптическими функциями. мы рассмотрим следующий частный случай теоремы сложения синусоиды:
Если мы допустим
тогда
Но из (1) мы также имеем
поэтому
Принимая во внимание, что 
представляет угол и, видимый на рисунке 12.2, уравнение (2) говорит нам, что угол (или длина дуги) и удваивается, двигаясь от 
Последнее число, поскольку оно получено из 
с помощью рациональных операций и квадратных корней, можно построить из 
с помощью линейки
и циркуля (подтверждая геометрически очевидный факт, что угол может быть увеличен вдвое с помощью линейки и циркуля).
Рисунок 12.2: Удвоение дуги окружности
Все это имеет замечательную параллель в свойствах лемнискаты и интеграле длины ее дуги 
Открытие формулы для удвоения дуги лемнискаты Фагнано (1718) показало, что геометрическую информацию можно извлекать из ранее трудноразрешимых эллиптических интегралов, и мы также можем считать его первым шагом к теории эллиптических функций. В нашей системе обозначений, формула Фагнано имеет вид
Поскольку 
получен из 
с помощью рациональных операций и квадратных корней, (3) показывает, как и (2), что дуга может быть удвоена построением с помощью линейки и циркуля.
Фагнано вывел свою формулу с помощью двух подстановок, которые, как указывает Зигель (1969), с. 3, аналогичны естественной подстановке для интеграла арксинуса (см. упражнения ниже).
Упражнения
(см. скан)
