10.69. Биографические заметки: Грегори и Эйлер

Джеймс Грегори родился в 1638 году в Драмоуке, вблизи Абердина; младший из трех сыновей Джона Грегори, городского священника. Он получил свое первое образование у своей матери, Джанет Андерсон, дядя которой, Александр, был секретарем Виета и редактором посмертно изданных трудов Виета. Средний брат, Дейвид, также обладал математическими способностями и после смерти отца, в 1651 году, он поддерживал Джеймса во время его последующего обучения в средней школе и Маришал-колледже в Абердине. Маришал-колледж ныне обладает единственным известным портретом Джеймса Грегори (рисунок 10.3).

Рисунок 10.3: Джеймс Грегори (Маришал-колледж)

Первым значительным достижением Грегори было изобретение зеркального телескопа, который он описал в своей книге Optica promota

в 1663 году. К сожалению, ему не удалось получить удовлетворительно сконструированный прибор, и от его проекта отказались в пользу более простого прибора, изобретенного Ньютоном. Тем временем, Грегори решил улучшить свои научные знания на континенте, и провел большую часть времени с 1664 по 1668 годы, изучая математику в Италии. Его учителем был Стефано дельи Анджели (1623-1697) из Падуи; от него Грегори узнал о методах Кавальери. Влияние итальянской школы было очевидным в геометрическом подходе Грегори к задачам интегрирования в его первых математических трудах Vera circuli et hyperbolae quadratura [Грегор и (1667)] и Geometriae pars universalis [Грегори (1668)], но в них также была оригинальность Грегори. Книги получили горячие отзывы в Лондоне, и, когда Грегори поехал туда после возвращения из Италии, его избрали в Королевское общество.

Geometriae pars universalis — это, главным образом, систематизация результатов в дифференцировании и интегрировании тогда известных, но она включала первое опубликованное доказательство основной теоремы исчисления. Несмотря на важность этого, теорема принадлежала не одному Грегори, поскольку Ньютон и Лейбниц открыли ее независимо. Что действительно выделяет Грегори среди других математиков семнадцатого века, так это Vera quadratura (Истинная квадратура), чрезвычайно смелая и образная попытка доказать, что числа трансцендентны.

Как указывалось в разделе 2.3, трансцендентность оставалась недоказанной до девятнадцатого века, и, конечно, не методами семнадцатого века, поэтому понятно, что попытка Грегори не достигла цели. Тем не менее, она полна блестящих идей: унификация круговых и гиперболических функций (без использования комплексных чисел), понятие сходимости и различие между алгебраическими и трансцендентными функциями. Грегори показал, что площади, высеченные как из круга, так и из гиперболы (задающие и различные логарифмы как частные случаи), можно получить как пределы чередующихся геометрических и гармонических средних:

Если то (геометрически-гармоническое среднее 2

и 4) есть Если, с другой стороны, тогда I есть Эти примеры Грегори иллюстрируют способ, так геометрически-гармоническое среднее охватывает, как круговые, так и гиперболические функции. Чередующаяся процедура, использованная для определения среднего, имела интересный отголосок в работе Гаусса, который аналогично исследовал определенное арифметически-геометрическое среднее в 1790-х годах, с далеко идущими результатами (раздел 12.6).

В 1669 году Грегори вернулся в Шотландию и занял кафедру математики в Сент-Андрусе. Он женился на молодой вдове, Мери Вернет, дочери художника Джорджа Джеймсона, который также происходил из рода Андерсонов. У Джеймса и Мери было две дочери и сын, который стал профессором медицины в Абердине. Довольно впечатляющее древо семьи Грегори можно найти в краткой биографии Грегори Тернбулла [Тернбулл (1939)].

Грегори провел в Сент-Андрусе пять лет, в течение которых он получил важные результаты по рядам. Однако, его контакты с другими учеными ограничивались письмами из Лондона, и услышав о похожих результатах Ньютона, он предположил, что его опередили и не опубликовал свои. Недостаток контактов и враждебность к математике в Сент-Андрусе заставили его в 1674 году принять предложение о занятии кафедры в Эдинбурге. Увы, он пробыл в Эдинбурге лишь год, когда он тяжело заболел, вероятно из-за удара во время показа спутников Юпитера группе студентов. Он умер несколько дней спустя, в октябре 1675 года, слишком рано, чтобы мир понял значение его работы.

Леонард Эйлер родился в Базеле в 1707 году и умер в Санкт-Петербурге в 1783 году. Его отец, Пауль, изучал теологию в Базельском университете, где он также посещал лекции по математике Якоба Бернулли. По окончании он стал протестантским священником и женился на дочери священника, Маргарет Брукнер. Леонард был первым из их шести детей. Семья была очень бедная, и, вскоре после рождения Эйлера, переехала в деревню за пределами Базеля, где они жили в доме из двух комнат. Эйлер получил свое первое математическое образование дома, у своего отца. Позже он снова переехал в Базель и посещал среднюю школу, но математике там не обучали, поэтому он брал несколько частных уроков у студента университета.

В 13 лет Эйлер поступил в Базельский университет, который стал математическим центром Европы под руководством Иоганна Бернулли, младшего брата и преемника Якоба. Бернулли посоветовал Эйлеру

изучать математику самостоятельно и в субботу днем старался быть в его распоряжении, чтобы помочь справиться с трудностями. Официально Эйлер изучал философию и право. Получив степень магистра по философии в 1723 году, он последовал желанию своего отца и поступил на факультет теологии. Однако, он все больше попадал под очарование математики и осознал, что ему следует отказаться от мысли стать священником.

Для математиков в Швейцарии было немного возможностей и 1727 году Эйлер уехал из Базеля в Санкт-Петербург. Сыновья Иоганна Бурнулли, Даниил и Николай, были назначены там в новую Академию наук, и они убедили власти найти место для Эйлера. Эйлер уже подавал надежды парой статей в Acta Eruditorum и почетным упоминанием в конкурсе Парижской Академии 1727 года, но в Санкт-Петербурге он превзошел все ожидания, проделав работу высокого качества со скоростью, которая с тех пор удивляла математиков. Первые годы в Петербурге с братьями Бернулли, должно быть, были мечтой молодого математика. Однако, также верно, что на продуктивность Эйлера не повлияли позднейшие препятствия, включая потерю зрения. Он заполнил половину страниц, опубликованных Санкт-Петербургской Академией с 1729 года и в течение 50-ти с лишним лет после его смерти (!), и он также несет ответственность за половину публикаций Берлинской Академии между 1746 и 1771 годами.

Первые важные перемены в жизни Эйлера в Санкт-Петербурге произошли в 1733 году, когда Даниил Бернулли вернулся в Базель. Эйлер тогда стал профессором математики, но также вынужден был возглавить факультет географии. В том же году он женился на соотечественнице, Катарине Гзель, дочери художника, который преподавал в Санкт-Петербурге. В итоге, они имели 13 детей, 5 из которых достигли зрелости. Обязанности Эйлера по географии включали подготовку карты России, задача, которая переутомляла его глаза и, возможно, привела к лихорадке, которая испортила зрение его правого глаза в 1738 году. Рисунок 10.4 — это портрет со здоровой стороны.

Рисунок 10.4: Леонард Эйлер

К 1740 году политическое положение в Санкт-Петербурге стало неопределенным, и Эйлер переехал в Берлин, где Фридрих Великий только что реорганизовал Берлинскую Академию. Эйлер стал директором математической секции и оставался в Берлине 25 лет. Некоторые из его самых известных работ датируются этим периодом, в частности, Introductio in analysin infinitorum (Введение в анализ бесконечных) [Эйлер (1748а)] и Letters а ипе princesse dAUemagne sur divers sujets de

physique et de philosophie (Нисьма о разных физических и филозофических материях, писанные к некоторой немецкой принцессе), один из классических трудов по популярной науке. Однако в Берлине Эйлеру было неуютно. По поводу руководства Академией происходили частые ссоры, и циничный Фридрих имел склонность насмехаться над набожным и скромным Эйлером. В 1762 году Екатерина Великая взошла на престол в России, и Санкт-Петербургская Академия, с которой Эйлер постоянно поддерживал контакт, стала снова выглядеть привлекательной.

В 1766 он вернулся в Санкт-Петербург вместе с семьей (в качестве вознаграждения, его старший сын добился там кафедры физики). Вскоре после приезда Эйлер перенес болезнь, которая испортила почти все его оставшееся зрение, и в 1771 году он полностью ослеп. Пожалуй, слепота сконцентрировала ум Эйлера еще удивительнее. У него всегда была великолепная память, например, он знал наизусть Энеиду Вергилия, и с помощью двух своих сыновей и других сотрудников поток его публикаций продолжился с еще бблыней скоростью, чем когда-либо. Его Алгебра [Эйлер (1770)] была продиктована слуге, и все же стала самым успешным учебником по математике со времен Начал Евклида.

Одним из самых замечательных качеств Эйлера была его готовность объяснить, как совершались его открытия. Математики восемнадцатого века были менее скрытными, чем их предшественники в шестнадцатом и семнадцатом веках, но Эйлер был уникален, раскрывая свои догадки, эксперименты и частичные доказательства. Некоторые самые интересные из этих отчетов представлены в книге Пойя [Пойя (1956 )] на достоверной аргументации. Например, глава 6 книги включает перевод научного труда, в котором Эйлер известил о теореме о пятиугольных числах. Здесь невозможно кратко изложить все вклады Эйлера в математику, хотя некоторые, имеющие первостепенное значение, представлены в следующих главах. Наилучшее имеющееся краткое изложение — это статья Юшкевича об Эйлере в Словаре научных биографий.