Глава 11. Возрождение теории чисел
11.70. От Диофанта до Ферма
Некоторые важные результаты в теории чисел были открыты в средние века, хотя им не удалось укорениться до тех пор, пока их заново не открыли в семнадцатом веке или позднее. Среди них — открытие китайскими математиками треугольника Паскаля и «китайская теорема об остатках», а также формулы для перестановок и комбинаций Леви бен Гершона (1321). Раннее развитие китайской теоремы об остатках обсуждается в главе 5, и теорема вновь возникла только после того периода времени, который мы собираемся обсудить. Полное описание ее истории можно найти у Либрехта (1973), глава 5. Треугольник Паскаля, напротив, начал процветать в семнадцатом веке после длительной спячки, поэтому интересно проследить, что было известно о нем в средние века, и, что сделал Паскаль, чтобы возродить его.
Китайцы использовали треугольник Паскаля как средство создания и составления таблиц биномиальных коэффициентов, то есть, коэффициентов, встречающихся в формулах
и т. д. Когда биномиальные коэффициенты сведены в таблицу следующим образом (с тривиальной строкой 1, добавленной наверху,
соответствующей 0-й степени а 
и т. д. 
элемент 
строга — это сумма 
двух элементов выше него в 
строке, как следует из формулы (упражнение 11.1.1)
Треугольник появляется до глубины шести у Ян Хуэя (1261) и до глубины восьми у Чжу Ши-цзе (1303) (рисунок 11.1). Ян Хуэй приписывает треугольник Цзя Сяню, который жил в одиннадцатом веке. Рисунок 11.1: Китайский треугольник Паскаля Число появляется в средневековых сочинениях на иврите как число комбинаций 
предметов, взятых к одновременно. Леви бен Гершон (1321) дает формулу
наряду с тем фактом, что имеется 
перестановок 
элементов. В своем трактате о перестановках и комбинациях Леви бен Гершон очень близко подходит к использованию математической индукции, если не к ее фактическому изобретению. Как мы сейчас формулируем этот метод доказательства, оказывается, что свойство 
натуральных чисел 
выполняется для всех 
если можно доказать 
(базовый шаг), и для произвольного 
можно доказать 
(индукционный шаг). Рабинович (1970) предложил объяснение некоторых доказательств Леви бен Гершона, которое, видимо, непременно показывает деление на базовый шаг и индукционный шаг, но индукционному шагу необходима некоторая помощь в системе обозначений, чтобы стать доказательством для действительно произвольного 
Леви бен Гершон не говорит: «Рассмотрим 
элементов 
так мы могли бы,
но лишь «Пусть элементами будут 
поскольку он не владел методом эллипсов.
Принимая во внимание эти отличные результаты, почему мы называем таблицу биномиальных коэффициентов «треугольником Пасталя»? Это, конечно, не единственный случай математического принципа называть скорее в честь переоткрывателя, а не первооткрывателя, но в любом случае Паскаль заслуживает уважения за большее, чем просто переоткрытие. В своем Traite du triangle arithmetique [Паскаль (1654)], Паскаль объединил алгебраическую и комбинаторную теории, показав, что элементы арифметического треугольника можно интерпретировать двумя способами: как коэффициенты 
и как число комбинаций 
предметов, взятых к одновременно. В сущности, он показал, что 
производящая функция для количеств комбинаций. В качестве приложения, он нашел математическую теорию вероятностей, решая задачу распределения ставок (упражнение 11.1.2), и в качестве метода доказательства он впервые использовал математическую индукцию действительно сознательным и недвусмысленным образом. В общем, в самом деле прогресс!
Переходя к труду Паскаля 1654 года, мы пролетели мимо конца эпохи в теории чисел до Ферма, поскольку Ферма уже активно работал в этой области в 1630-х гг. Однако, удобно иметь некоторые сведения общего характера об установленных биномиальных коэффициентах, поскольку ранняя работа Ферма появляется в этом окружении.
Упражнения
(см. скан)
