14.95. Деление угла

В разделе 6.6 мы видели, как Виет связал трисекцию угла с решением кубических уравнений, и, как Лейбниц (1675) и де Муавр (1707) решили уравнение деления угла на частей с помощью формулы типа формулы Кардано:

Мы также видели, как его и формулы Виета для легко можно объяснить формулой

которая обычно ассоциируется с де Муавром. На самом деле, де Муавр никогда не выражал (2) в явном виде. Самое близкое, к чему он пришел, — это формула для [де Муавр (1730); ряд отрывков из работы де Муавра о делении углов см. Смит (1959)]. По-видимому, ключи к алгебре круговых функций не были настолько строгими, чтобы открыть (2) до того, как с помощью исчисления была выявлена для него более глубокая причина.

Комплексные числа вошли в теорию круговых функций в статье об интегрировании Иоганна Бернулли (1702). Заметив, что делает возможным разложение на простые дроби

Бернулли увидел, что интегрирование даст выражение для как мнимого логарифма, хотя он не записал рассматриваемое выражение

и, очевидно, был озадачен тем, что оно могло означать. В разделе 16.1 мы увидим, как Эйлер внес ясность в открытие Иоганна Бернулли и развил его в прекрасную теорию комплексных логарифмов и показательных функций. Что здесь имеет значение, так это то, что Иоганн Бернулли (1712) снова вернулся к этой идее и на этот раз завершил интегрирование, чтобы получить алгебраическую зависимость между Его аргументация следующая. При условии, что

мы имеем

следовательно, принимая дифференциалы

или

Интегрирование дает

то

откуда

Это была первая формула типа формулы де Муавра, где действительно используется в явном виде, и первый пример явления, ясно сформулированного Адамаром: кратчайший путь между двумя истинами в действительной области иногда проходит через комплексную область. Решение (3) для у как функции х выражает как рациональную функцию которую трудно получить, используя одни действительные формулы. На самом деле, из (3) легко показать, что у — частное многочленов, состоящих из чередующихся членов в при условии, что чередуются знаки + и — (см. упражнения).

В течение восемнадцатого века математики испытывали противоречивые чувства по отношению к Они хотели использовать его на

пути к результатам о действительных числах, но сомневались, имело ли оно свое собственное конкретное значение. Котес (1714) даже использовал а для представления точки в плоскости (как позже сделал Эйлер), очевидно, не заметив, что была правильной интерпретацией а Поскольку эти результаты были подозрительны, они часто оставались несформулированными, когда можно было сформулировать эквивалентный результат о действительных числах. Этим можно объяснить, почему де Муавр установил (1), но не (2). Еще один пример избежания результатов замечательная теорема о правильном -угольнике, открытая Котесом в 1716 году и опубликованная посмертно в Котес (1722):

Теорема. Если равноотстоящие точки на единичном круге с центром О, и, если точка на так что тогда (рисунок 14.4)

Рисунок 14.4: Теорема Котеса

Эта теорема не только связывает правильный -угольник с многочленом но, фактически, геометрически реализует факторизацию в действительные линейные и квадратичные множители. По симметрии имеем следовательно,

действительный линейный множитель, как и когда четное, и из теоремы косинусов в треугольнике следует, что

Самый легкий путь отсюда к теореме — разбить на комплексные линейные множители и использовать теорему де Муавра, хотя мы можем лишь предполагать, что в этом заключался метод Котеса, поскольку он сформулировал теорему без доказательства. У теоремы Котеса имеется вторая половина, которая похожим образом разлагает на действительные линейные и квадратичные множители. Эти факторизации нужны были, чтобы интегрировать разложением на элементарные дроби; что было, в сущности, главной целью Котеса.

Такие задачи стояли тогда во главе повестки дня в математике, и они послужили причиной последующих исследований в факторизации многочленов, в особенности, первых попыток доказать основную теорему алгебры.

Упражнения

(см. скан)