21.146. Кольца и поля

Кронекер известен высказыванием «Бог создал натуральные числа, остальное — работа человека». [Об этом сообщается, например, в его некрологе Вебером (1892).] Алгебраическая теория чисел была, безусловно, тем, что он имел в виду, потому что Кронекер, как Дедекинд. видел в теории чисел источник самых интересных задач и вдохновляющую идею для всех математических понятий. Мы можем, по крайней мере, согласиться, что теория чисел была источником вдохновения двух самых важных алгебраических понятий: колец и полей.

Возможно, первым шагом к абстрактной алгебре было введение отрицательных чисел, создающих кольцо Z целых чисел из натуральных чисел. Видимо, это был очень трудный шаг, потому что математики в течение многих веков (скажем, со времени Диофанта до Декарта) жили в наполовину построенном доме, где отрицательные числа признавались только частично, иногда они допускались в промежуточные вычисления, но не разрешались в качестве ответов. Так же, прошло много времени, прежде чем «отношения» греков стали полем рациональных чисел.

Тагам образом, первый уровень абстракции, создание обратных величин для сложения и умножения, непроизвольно происходил в течение тысяч лет. Следующий уровень, идентификация аксиом для колец

и полей, имел место в девятнадцатом веке, главным образом, под влиянием алгебраической теории чисел. Аксиомы о кольцах являются, по существу, результатом записи свойств которые целые алгебраические числа разделяют с обыкновенными целыми числами, и аксиомы о полях являются свойствами, которые алгебраические числа разделяют с рациональными числами.

Понятие поля неявно присутствовало в работе Абеля и Галуа по теории уравнений, но оно стало явным, когда Дедекинд ввел числовые поля конечной степени как окружение для алгебраической теории чисел. Он увидел, что кольцо всех алгебраических целых чисел неудобно, потому что оно не имеет «простых чисел». Это происходит потому, что алгебраическое целое число, если таково а, следовательно, всегда имеется нетривиальное разложение на множители в кольце всех алгебраических целых чисел. С другой стороны, алгебраические целые числа в поле, порожденном из единственного алгебраического числа а степени

имеют лучшее поведение. Алгебраические целые числа (3 в имеют норму которая является обыкновенным целым числом, и это гарантирует существование простых чисел, как мы видели в частных случаях типа и которые все являются алгебраическими целыми числами в полях степени.

Привлекая внимание к полю степени Дедекинд также выяснил некоторую структуру векторного пространства: базис линейную независимость этих базисных элементов над и размерность (равную степени) над Несмотря на долгую историю линейной алгебры, уходящую, по крайней мере, на 2000 лет назад в Китай, опять именно более общее обобщение, которое позволила алгебраическая теория чисел, наконец, раскрыло ее основные понятия.

Следующий уровень абстракции был достигнут в двадцатом веке и, фактически, был работой женщины, Эмми Нётер. В 1920-х гг. она развивала концепции для обсуждения общих свойств различных алгебраических структур, таких как группы и кольца. Одно из явлений, которое является общим для групп и колец, — гомоморфизмы или сохраняющие структуру отображения. Отображение есть гомоморфизм групп, если для любых Подобным же образом, отображение есть гомоморфизм колец, если для любых

С этой гораздо более выгодной точки зрения, нормальные подгруппы (раздел 19.2) и идеалы можно рассматривать так примеры одного и того же понятия. Каждое является ядром гомоморфизма множества элементов, отображенных на единичный элемент (1 для группы, О для кольца).

Упражнения

(см. скан)