10.64. Интерполяция на интерполяции

Значение интерполяции в развитии исчисления, видимо, весьма недооценено. Тема редко возникает сегодня в книгах по исчислению, и, к тому же, лишь в качестве численного метода. Все трое из самых выдающихся основателей исчисления, Ньютон, Грегори и Лейбниц, начали свою работу с интерполяции, и мы видели, как это привело к двум

самым важным их результатам, биномимальной теореме и теореме Тейлора. [О работе Лейбница, см. Гофман (1974).] С изгнанием интерполяции в численные методы, эта связь оказалась утерянной. Конечно, интерполяция на поверку есть численный метод, когда используются лишь несколько членов ряда Грегори - Ньютона, но полный ряд — точный и, следовательно, представляет гораздо больший интерес. Именно этот интерес к разложениям в бесконечный ряд по существу выделяет Ньютона, Грегори и Лейбница (а также Валлиса) от их предшественников в интерполяции.

Интерполяция относится к временам античности как метод оценки значений функций между известными значениями. Но, возможно, первыми, кто рассмотрел возможность точной интерполяции, были Томас Гарриот (1560-1621) и Генри Бриггс (1556-1630). Основная часть труда Гарриота осталась неопубликованной или даже не приведена в надлежащий порядок, но формула найдена в его бумагах, и она эквивалентна первым членам ряда Грегори-Ньютона [см. Лоне (1965)]. Лоне датирует эту работу Гарриота 1611 годом. Бриггс, возможно, узнал что-то об интерполяции от Гарриота, когда оба были в Оксфорде около 1620 года. В Arithmetics, logarithmica Бриггса [Бриггс (1624)], которая касается исчисления логарифмов, используется ряд для интерполяции, и в ходе этого приводится первый случай биномиальной теоремы для дробного показателя степени:

Грегори знал о работе Бриггса, и Ньютон, конечно, мог знать о ней, хотя убедительных доказательств, что это так, до сих пор не найдено. Более подробную информацию об истории интерполяции см. Уайтсайд (1961) и Голдстайн (1977).