19.126. Перестановки и теория уравнений
В разделе 11.1 мы видели, что еще в 1321 году Леви бен Гершон нашел, что существует 
перестановок 
предметов. Эти перестановки — обратимые функции, которые образуют группу 
в процессе композиции, хотя их поведение в процессе композиции не рассматривалось до восемнадцатого века. Именно тогда, когда Вандермонд (1771) и Лагранж (1771) применили идею перестанови! к корням полиномиальных уравнений, были открыты первые поистине теоретико-групповые свойства перестановок. В то же время Вандермонд и Лагранж открыли ключ к пониманию решения уравнений в радикалах.
Они начали с наблюдения, что если уравнение
имеет корни 
то
и перемножая правую часть и сравнивая коэффициенты, находим, что 
некоторые функции 
Например,
Эти функции симметричны, то есть, неизменяемы какой-либо перестановкой 
поскольку правая часть (2) не изменяется тагами перестановками. Следовательно, любая рациональная функция 
симметрична как функция 
Сейчас
объект решения в радикалах — применение рациональных операций и радикалов к 
с тем чтобы получить корни, то есть, полностью асимметричные функции 
Радикалы, поэтому, должны некоторым образом уменьшать симметрию, и можно видеть, что они делают в квадратичном случае. Корни
равны
и мы замечаем, что симметричные функции 
дают две асимметричные функции 
когда вводится двузначный радиьсал Вообще, введение радикалов умножает число значений функции на 
и делит симметрию на 
в том смысле, что группа перестановок, оставляющая функцию неизменной, уменьшается до 
своей предыдущей величины.
Вандермонд и Лагранж нашли, что они могут объяснить предшествующие решения кубических и квадратных уравнений на основе уменьшения такой симметрии в соответствующих группах подстановок 
Они также нашли некоторые свойства подгрупп. Например, Лагранж, по существу, нашел результат ныне известный как «теорема Лагранжа»: порядок подгруппы делит порядок группы. Однако, они не смогли добиться достаточного понимания зависимости между радикалами и подгруппами 
чтобы решить уравнения степени 5. Руффини (1799) и Абель (1826) добились достаточных успехов с 55, чтобы суметь доказать неразрешимость уравнения пятой степени, но никто из этих авторов не имел достаточно твердого понимания зависимости между радикалами и перестановками, чтобы оперировать произвольными уравнениями. Они, действительно, не осознавали понятия группы, и мы можем интерпретировать их результаты в теоретико-групповых терминах лишь ретроспективно.
Понятие, и, несомненно, слово «группа», впервые встречается у Галуа (1831b) Вместе с ним — понятие нормальной подгруппы, которое, наконец, открывает секрет разрешимости в радикалах. Подгруппа 
группы 
называется нормальной, если
для каждой 
Галуа показал, что всякое уравнение 
имеет группу 
состоящую из перестановок корней, которые оставляют рациональные функции корней неизменными, и, что уменьшение симметрии, сопровождаемое введением радикала, соответствует образованию нормальной подгруппы. Тогда решение 
в радикалах возможно только, если 
можно привести к тождественной перестановке цепочкой нормальных подгрупп (вложенных некоторым образом). Если 
общее уравнение степени 
то 
и теорема Руффини и Абеля восстанавливается, если показать, что 
не имеет такой цепочки нормальных подгрупп [см., например, Диксон (1903)].
Этот краткий набросок идей Галуа охватывает лишь часть его теории. Другая часть — его теория полей, которая необходима, чтобы внести ясность в понятие рациональной функции. Теория групп и теория полей составляют то, что в настоящее время известно как «теория Галуа» [см., например, Эдуарде (1984)]. То, что можно посчитать вершиной теории Галуа, поднимающееся выше пределов алгебры, в настоящее время забыто. Это решение уравнений с помощью эллиптических и родственных функций, о котором следует справляться в более старых книгах, тагах как книги Жордана (1870) и Клейна (1884). Величайший триумф этой теории заключался в решении общего уравнения пятой степени при помощи эллиптических модулярных функций Эрмитом (1858), который последовал за указанием Галуа (1831а).
Упражнения
(см. скан)
