7.43. Классификация кубических кривых Ньютона
Поскольку кривые первой и второй степени — это прямые линии и конические сечения, то их хорошо понимали до пришествия аналитической геометрии. Вплоть до конца восемнадцатого века большинство математиков считало, что они не поддаются дальнейшему пояснению
и, следовательно, неподходящий предмет для новых методов. Известный пример — трактовка в духе греков планетарных орбит в Principia Ньютона [Ньютон (1687)]. Классическому отношению к кривым низкой степени подвел итог Даламбер в своей статье о геометрии в Энциклопедии (1751):
Алгебраическое вычисление не следует применять к теоремам элементарной геометрии, потому что нет необходимости использовать это исчисление, чтобы облегчить доказательства, и, по-видимому, доказательств, которые действительно можно облегчить этим исчислением, не имеется, за исключением решения задач второй степени с помощью линии и круга.
Таким образом, первая задача, обнаруженная аналитической геометрией, а также первая, которая считалась принадлежащей собственно предмету, была задача исследования кубических кривых. Эти кривые классифицированы, более или менее полно, Ньютоном [комментарии см. Болл (1890)].
Ньютон (1667) начал свою работу с общей кубической кривой в х
построив общее преобразование осей, ведущее к уравнению с 84 членами, затем показав, что последнее уравнение можно свести к одной из форм
Затем Ньютон разделил кривые на виды в соответствии с корнями правой части, получив 72 вида (и упустив 6). Его статья не содержит подробных доказательств; они были предоставлены Стирлингом (1717), наряду с четырьмя видами, которые упустил из виду Ньютон. Позднее некоторые математики, такие как Эйлер, критиковали классификацию Ньютона за отсутствие общего принципа. Объединяющий принцип, конечно, желателен, чтобы уменьшить сложность классификации. И такой принцип уже подразумевался в одном из беглых замечаний Ньютона, раздел 29 «О происхождении кривых при помощи
теней». Этот принцип, который будет объяснен в следующей главе, сводит кубические кривые к пяти типам, видимым на рисунке 7.3 [взят из английского перевода статьи Ньютона, опубликованной в 1710 году; см. Уайтсайд (1964)].
Читатель может заинтересоваться, где среди этих пяти появляется самая знакомая кривая, 
Ответ состоит в том, что она эквивалентна кривой с точкой возврата на рисунке 75 Ньютона. Это объясняется в следующей главе.
Рисунок 7.3: Классификация кубических кривых Ньютона
Упражнения
(см. скан)
