22.149. Формулы многогранника Декарта и Эйлера

Первое топологическое свойство многогранников, по-видимому, было открыто Декартом около 1630 года. Короткая статья Декарта на эту тему утеряна, но ее содержание известно из копии, сделанной Лейбницем в 1676 году, которая найдена среди бумаг Лейбница в 1860 году и опубликована Пруэ (1860). Подробное изучение этой статьи, включая перевод и факсимиле рукописи Лейбница опубликовано Федерико (1982).

Это же свойство было вновь открыто Эйлером (1752), и оно сейчас известно как эйлерова характеристика. Если многогранник имеет V вершин, ребер и граней, то эйлерова характеристика: Эйлер показал, что эта величина имеет известную инвариантность, показывая

для всех выпуклых многогранников, результат, который известен сейчас как эйлерова формула многогранника. У Декарта уже был тот же самый результат в неявном виде, выраженный парой формул

где число, которое Декарт назвал «плоскими углами»: углы граней, определенные парой смежных ребер. Отношение тогда следует из наблюдения, что каждое ребро участвует в образовании двух углов. Следует подчеркнуть, что «плоский угол» Декарта не имеет отношения к угловой мере, и, следовательно, точно такое же топологическое понятие, как «ребра» Эйлера. Поэтому результат Декарта принадлежит топологии столько же, сколько результат Эйлера, даже если ему не удается совершенно также обособить понятие эйлеровой характеристики. При попытке доказать, что Эйлер изобрел топологию, а Декарт нет, проведены некоторые довольно незначительные различия между Эйлером и Декартом [анализ других мнений см. Федерико (1982)].

Действительно, никто из этих математиков не понимал формулу многогранника вполне топологическим образом. В своих доказательствах они оба пользовались нетопологическими понятиями, такими как угловая мера, и они не осознавали, что «вершины», «ребра» и «грани» имеют смысл только на любой поверхности: ребра не обязательно должны быть прямыми, и грани не обязательно должны быть плоскими. Другие ранние доказательства эйлеровой формулы многогранника также опираются на угловую меру и другие обычные геометрические величины. Например, в доказательстве Лежандра (1794) предполагается, что многогранник можно спроектировать на сферу, затем используется отношение Гарриота между угловым избытком и площадью для сферических многоугольников (упражнения 22.2.1 и 22.2.2).

Вероятно, первым, кто понял чисто топологически, был Пуанкаре (1895). Действительно, Пуанкаре обобщил эйлерову характеристику до -мерных фигур, но в случае многогранников его существенное наблюдение заключалось в следующем: вершина делит ребро на два ребра, и ребро делит грань на две грани. Отсюда следует, что любое подразбиение ребер или граней многогранника оставляет без изменений: если на ребре вводится новая вершина, и возрастают на 1; если новое ребро вводится через грань, и и возрастают на 1. Обратные процессы амальгамирования, где они имеют смысл, подобным же образом оставляют без изменений.

Тогда следует постоянство скажем, по классу выпуклых многогранников, если можно показать, что любой многогранник в классе можно преобразовать в другой, с помощью подразбиений и амальгамирований. Правдоподобное доказательство этого [благодаря Риману (1851)] следующее: рассмотреть как подразбиения одной и той же поверхности, скажем, сферы. При предположении, что ребра пересеваются только конечно часто, наложение на

дает общее подразбиение значение которого поэтому такое же, как Следовательно, значения равны. Однако предположение о только конечном числе пересечений трудно обосновать. Иной подход, который также дает значение для несферических поверхностей, объясняется в следующем разделе.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)