21.145. Вновь суммы квадратов

Алгебраическая теория чисел имеет длинную родословную, которую можно проследить вплоть до открытия вавилонянами пифагоровых троек около 1800 г. до н. э. По-прежнему непонятно, как вавилоняне смогли создать тройки, по-видимому, как угодно, но метод создания можно четко распознать в труде Диофанта. Он лежит в тождестве двух квадратов Диофанта из раздела 20.2:

Это тождество позволяет нам «составить композицию» двух пифагоровых троек чтобы получить третью

Но у Диофанта центр внимания перемещается с троек на пары особенно, на суммы Как сказал Диофант (раздел 20.2), 65 есть сумма двух квадратов, потому что и потому что 5 и 13 также являются суммами двух квадратов. Для того чтобы понять, какие числа являются суммами двух квадратов, нам, очевидно, нужно взглянуть на их множители, и, следовательно, задача сводится к знанию того, какие простые числа являются суммами двух квадратов. По-видимому, Ферма первым увидел, что это конечный вопрос о суммах двух квадратов. Во всяком случае, Ферма (1640b)

первым ответил на него: нечетное простое число есть сумма двух квадратов тогда и только тогда, когда имеет вид

Ферма, в своей обычной манере, сформулировал эту теорему без доказательства. Первое опубликованное доказательство было дано Эйлером (1749), ряд все более и более элегантных доказательств дан знаменитыми математиками, особенно, когда они должны были показать в выгодном свете новые методы: например, Лагранжем (теория квадратичных форм), Гауссом (гауссовы целые числа) и Дедекиндом (1877) (теория идеалов).

Теория квадратичных форм Лагранжа фактически была предтечей алгебраической теории чисел, ее появлению способствовали тройка теорем, сформулированных Ферма и задача, которую Ферма решить не смог. Три теоремы касаются нечетных простых чисел видов (мысль о нем заронил Диофант), и их можно сформулировать следующим образом.

Задача, которую не смог решить Ферма, — это характеристика нечетных простых чисел вида Здесь есть приводящее в затруднение новое явление: простые числа не вида такие как 3 и 7, произведение которых имеет вид

Лагранж смог доказать три теоремы Ферма и объяснить аномальное поведение с помощью своей теории эквивалентности квадратичных форм. Если нас интересуют числа, представленные формой то нам также необходимо обследовать формы которые можно получить из изменением переменных

потому что такое изменение переменных (х,у) является взаимно однозначным отображением следовательно, новая форма представляет как раз те же самые числа, что и старая.

Лагранж назвал такие формы эквивалентными и заметил, что они имеют одинаковый дискриминант: Более того, он

нашел, что

но имеется две неэквивалентные формы с дискриминантом —20: а именно, формы Выставляя «невидимого компаньона» формы Лагранж объяснил поведение чисел формы Их нельзя понять изолированно, но только как класс, который взаимодействует с числами формы Действительно, простые числа формы это числа или в то время как простые числа формы числа или . И произведения последних простых чисел или и формы

По-видимому, Гаусс осознавал, что теорию квадратичных форм можно заменить, по крайней мере, на тот момент, теорией «квадратичных целых чисел». Его теория несомненно, является заменой лагранжевой теории квадратичной формы Но Гаусс также осознавал, что в некоторых случаях соответствующим квадратичным целым числам недоставало однозначного разложения на простые множители (возможно, именно поэтому он первый признал важность однозначного разложения на простые множители в другом месте). Он не смог увидеть способ обойти это препятствие, поэтому создание Куммером идеальных чисел можно считать решением задачи, которая поставила в тупик даже великого Гаусса.

Мы не знаем насколько Куммер развил теорию идеальных чисел в кольцах квадратичных целых чисел, таких как потому что его фактически интересовали алгебраические целые числа более высокой степени, так называемые круговые целые числа. Как подсказывает их название, они возникают из теории деления круга (разделы 2.3 и 14.5), где решения уравнения

представляют равноотстоящих точек на единичном круге. Числа

образуют кольцо круговых целых чисел.

Во времена Куммера считали, что было ключом к последней теореме Ферма, потому что, если таковы, что то степень разлагает на линейных множителей в В самом деле, это было основой ошибочного «доказательства» Ламе (1847). Однако Куммер заметил, что такие аргументы разрушаются, именно потому, что однозначное разложение на простые множители в не удается. Куммер показал, что это происходит для и он создал теорию идеальных чисел, пытаясь исправить недостаток. В этом отношении, идеальные числа были успешны только частично (это не имеет значения, раз мы имеем довазательство Уайлса последней теоремы Ферма), но они доказали свою ценность в другом месте. Переработка идеи Куммера Дедекиндом дала нам понятие идеала, которое обязательно в современной алгебре.

О трактовке простых чисел формы используя идеалы, см. Артин (1991), и подробнее об истории см. введение в Дедекинд (1877) и Кокс (1989). В последнем собрана другая замечательная нить в истории алгебраических чисел — модулярная функция. Как говорилось в упражнениях к разделу 16.5, модулярная функция — это функция видов решетки, и по этой причине ей есть что сказать об идеалах мнимых квадратичных целых чисел. Для того чтобы найти что, см. книгу Кокса или МакКин и Молл (1997).

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)