7.45. Арифметизация геометрии
Мы подчеркивали, что первые геометры-аналитики, в частности, Декарт, не допускали, что геометрия могла основываться на числах или алгебре. Возможно, первый, кто воспринял идею арифметизации геометрии серьезно, был Валлис (1616-1703). Валлис (1657), гл. XXIII и XXV, дал первую арифметическую трактовку Книг II и V Евклида, и ранее он дал первую чисто алгебраическую трактовку конических сечений [Валлис (1655b)]. Вначале он вывел уравнения из классических определений по сечениям конуса, но затем поступил наоборот, чтобы вывести их свойства из уравнений, «без путаниц с конусом», как он выразился.
Валлис был ведущим математиком этого времени. Томас Гоббс, представленный в начале главы 2, охарактеризовал трактат Валлиса о конических сечениях как «паршу из символов» и осудил «все то стадо, которое применяет свою алгебру к геометрии» [Гоббс (1656), с. 316 и Гоббс (1672), с. 447]. Пример и авторитет Ньютона, вероятно, укрепили мнение, что алгебра неуместна в геометрии линий или конических сечений; мы видели в разделе 7.4, как это оставалось общепринятой точкой зрения, по крайней мере, до 1750 года.
Алгебра не привилась в элементарной геометрии до тех пор, пока ее не принял Лагранж (1773b) и не поддержали влиятельные учебники Монжа и Лакруа около 1800 года. Но к тому времени элементарная геометрия был привнесена в теорию уравнений, появилась высшая геометрия, все больше и больше зависящая от исчисления и появляющихся теорий комплексных функций, абстрактной алгебры и топологии,
которые расцвели в девятнадцатом веке. Высшая геометрия разделилась, чтобы образовать дифференциальную геометрию и алгебраическую геометрию, оставив элементарный остаток, который мы называем сегодня «аналитической геометрией».
Несмотря на ее скромный статус, Гильберт (1899) придал аналитической геометрии важную фундаментальную роль. Гильберт довел арифметизацию Валлиса до логического завершения, допустив в качестве данных только действительные числа и множества и построив из них евклидову геометрию.
Таким образом, из множества 
действительных чисел строим евклидову плоскость как множество упорядоченных пар (х,у) («точек»), где х,у 
Прямая линия — это множество точек (х,у) в плоскости, так что 
для некоторых постоянных a, b, c. Линии параллельны, если их коэффициенты х и у пропорциональны. Расстояние между точками 
определяется как 
Как объясняется в разделе 1.6, это определение обусловлено теоремой Пифагора, которая является краеугольным камнем моста от арифметики к геометрии.
С этими определениями все аксиомы и теоремы геометрии Евклида становятся доказуемыми теоремами об уравнениях. Например, аксиома, что непараллельные линии имеют общую точку, соответствует теореме, что линейные уравнения
имеют решение, когда 
Гильберт считал, ничуть не больше, чем Ньютон, что числа не являются истинным предметом геометрии. Он сильно поддержал геометрическую интуицию как метод открытия, как явствует из книги Гильберта и Кон-Воссена (1932). Цель его арифметизации состояла в том, чтобы дать надежное логическое основание геометрии после разработок девятнадцатого века, которые дискредитировали геометрию и водворили арифметику в качестве конечного авторитета в математике. Это основание больше уже не такое надежное, как представлялось в 1900 году, как мы увидим в главе 23; тем не менее, оно все еще самое надежное из известных нам оснований.
