9.58. Arithmetica Infinitorum Валлиса
Усилия Валлиса арифметизировать геометрию отмечались в разделе 7.6. В своей Arithmetica Infinitorum (Арифметике бесконечного [Валлис (1655а)] он предпринял аналогичную попытку арифметизировать теорию площадей и объемов кривых фигур. Некоторые из его результатов, понятно, были эквивалентны уже известным результатам. Например, он дал доказательство того, что
для положительных целых чисел 
показав, что
Однако он создал новый подход к дробным степеням, скорее непосредственно найдя 
чем рассматривая кривую 
как сделал Ферма. Он первым нашел 
рассмотрев площади, дополнительные к площадям под 
(рисунок 9.2),
затем угадал результаты для других дробный степеней по аналогии с уже полученными.
Рисунок 9.2: Площади, использованные Валлисом
Как другие первые создатели исчисления, Валлис двойственно относился к величинам, которые стремились к нулю, трактуя их как ненулевые в один момент и нулевые в следующий. За это он получил ужасную отповедь от своего заклятого врага Томаса Гоббса: «Ваша презренная книга Arithmetica infinitorum; где Вашим неделимым нечего делать, без того, чтобы не считалось, что они имеют величину, иными словами, делимы» [Гоббс (1656), с.301]. Не говоря уже об этой ошибке, которая легко исправляется предельными аргументами, рассуждение Валлиса крайне неполное по сегодняшним стандартам. Например, наблюдая модель в формулах для 
он сразу же заявит формулу для всех положительных целых чисел 
«с помощью индукции» и для дробных 
«с помощью интерполяции». Его смелость достигла новых высот к концу Arithmetica infinitorum, когда он выводит свою известную формулу о бесконечном произведении
Описание его рассуждения можно найти у Эдуардса (1979), 
где оно охарактеризовано как «одно из самых дерзких исследований об аналогии и интуиции, которые когда-либо давали правильный результат».
Однако мы должны иметь в виду, что Валлис предлагал, прежде всего, метод открытия, и какое открытие он сделал! Его бесконечное произведение для 
не было первым, когда-либо данным, поскольку Виет (1953) открыл
Однако формула Виета основывается на умном, но простом трюке (см. упражнения), в то время как формула Валлиса имеет более глубокое значение. Связав 
с целыми числами через последовательность рациональных операций, Валлис обнаружил последовательность дробей (полученную завершением произведения на 
множителе), которую
он назвал «гипергеометрической». Позже было установлено, что аналогичные последовательности встречаются как коэффициенты в разложениях в ряд многих функций, что привело к широкому классу функций, названных Гауссом «гипергеометрическими». Кроме того, произведение Валлиса была тесно связано с двумя другими прекрасными формулами для 
основанными на последовательностях рациональных операций:
и
Непрерывная дробь была получена Браункером из произведения Валлиса, а также опубликована Валлисом (1655b). Ряд — это частный случай ряда
открытого индийскими математиками в пятнадцатом веке (см. раздел 10.1) и позже заново открытого Ньютоном, Грегори и Лейбницем. Эйлер (1748а), с. 711, дал прямое преобразование ряда для 
в непрерывную дробь Браункера. В дополнение к выделению этой эффектной цепной реакции, метод «интерполяции» Валлиса имел важные последствия в работе Ньютона, который использовал его при открытии общей биномиальной теоремы (раздел 10.2).
Упражнения
(см. скан)
