9.56. Ранние результаты о площадях и объемах
Идея интегрирования часто вводится аппроксимацией площади под кривыми 
с помощью прямоугольников (рисунок 9.1), скажем, от 
до 1. Если основание области разделено на 
равных частей, то высоты прямоугольников: 
и отыскание площади, занятой прямоугольниками, зависит от суммирования ряда 
Если кривая вращается вокруг оси х, то прямоугольники выметают цилиндры площади поперечного сечения 
где 
что вызывает суммирование ряда 
Рисунок 9.1: Аппроксимация площади с помощью прямоугольников
Со времен Архимеда первые новые результаты по площадям и объемам фактически основывались на суммировании этих рядов. Арабский математик аль-Хайсам (около 965-1089 гг.) суммировал ряд 
для к 
и использовал результат, чтобы найти объем твердого тела, полученного вращением параболы вокруг своего основания. [О методе суммирования рядов аль-Хайсама см. Барон (1969), с. 70 или Эдуарде (1979), с. 84, а также упражнения об еще одном методе.]
Кавальери (1635) распространил эти результаты вплоть до 
используя их, чтобы получить эквивалент
и предполагая эту формулу для всех положительных целых чисел k. Этот результат был доказан в 1630-х гг. Ферма, Декартом и Робервалем. Ферма даже получил результат для дробного к [см. Барон (1969), стр. 129,185 и Эдуарде (1979), с. 116]. Кавальери больше известен своим «методом неделимых», ранним методом открытия, который рассматривал площади, деленные на бесконечно тонкие полоски, и объемы,
деленные на бесконечно тонкие слои. В Методе Архимеда использованы те же идеи, но как указывалось в разделе 4.1, он был неизвестен до двадцатого века. Удивительно, современник Кавальери, Торричелли (изобретатель барометра), сделал предположение, что это метод, быть может, использовался греками. Сам Торричелли получил много результатов, используя неделимые, один из них был почти идентичен определению площади параболы, данного Архимедом в Методе [Торричелли (1644)]. Другое его открытие, которое вызвало в то время удивление, заключалось в том, что бесконечное тело, полученное вращением 
вокруг оси 
от 1 до 
имеет конечный объем [Торричелли (1643) и упражнение 9.2.3]. Философ Гоббс (1672) писал о результате Торричелли, что, «чтобы понять это умом, не требуется, человеку необязательно следует быть геометром или логиком, но ему следует быть сумасшедшим».
Упражнения
(см. скан)
