1.3. Рациональные точки на круге
Из раздела 1.1 мы знаем, что пифагорова тройка 
может быть реализована треугольником со сторонами 
и гипотенузой с. Это по очереди дает треугольник со сторонами, выраженными дробным (или рациональным) числом 
и гипотенузой 1. Все такие треугольники можно вставить внутри круга радиуса 1, как показано на рисунке 1.4. Стороны 
становятся тем, что мы сейчас называем координатами точки 
на круге. Греки не пользовались этим языком; однако, они могли вывести зависимость между 
которую мы называем уравнением круга. Поскольку
мы имеем
поэтому зависимость между 
Следовательно, отыскание решений в целых числах (1) эквивалентно отысканию рациональных решений (2) или отысканию рациональных точек на кривой (2).
Рисунок 1.4: Единичный круг
Такие задачи сейчас называются диофантовы, в честь Диофанта, который первый всерьез и успешно рассмотрел их. Диофантовы уравнения потребовали более специального сопутствующего обозначения уравнений, для которых разыскиваются решения в целых числах, хотя сам Диофант искал лишь рациональные решения. [Имеется одна интересная открытая задача, которая зависит от этого различия. Матьясевич (1970) доказал, что алгоритма для принятия решения, какие полиномиальные уравнения имеют решения в целых числах, нет. Неизвестно, есть ли алгоритм для принятия решения, какие полиномиальные уравнения имеют рациональные решения.]
Большинство задач, решенных Диофантом, включают квадратные или кубические уравнения, обычно с одним очевидным тривиальным решением. Диофант использовал очевидное решение как ступеньку к неочевидному, но ни одного описания его метода не сохранилось. Он был, в конце концов, реконструирован Ферма и Ньютоном в семнадцатом веке, и это так называемое хордово-касательное построение
будет рассмотрено позднее. В данный момент оно нам нужно только для уравнения 
которое является идеальной иллюстрацией метода в его простейшей форме.
Тривиальное решение этого уравнения: 
которое является точкой 
на единичном круге (рисунок 1.5). После минутного размышления осознаешь, что линия, проходящая через 
с рациональным угловым коэффициентом 
пересечет круг во второй рациональной точке 
Это происходит потому, что подстановка 
дает квадратное уравнение с рациональными коэффициентами и одним рациональным решением 
следовательно, второе решение также должно быть рациональным значением х. Но тогда значение у этой точки также будет рациональным, поскольку 
в (3) будут рациональными. Обратно, хорда, соединяющая 
с любой другой рациональной точкой 
на круге, будет иметь рациональный угловой коэффициент. Тагам образом, позволяя пробежать через все рациональные значения, мы находим все рациональные точки 
на единичном круге. Рисунок 1.5: Построение рациональных точек Каковы эти точки? Мы находим их, решая только что обсужденные уравнения. Подстановка 
дает
или
Это квадратное уравнение в х имеет решения —1 и 
Нетривиальное решение 
при подстановке в (3), дает 
Упражнения
(см. скан)
