6.33. Линейные уравнения и исключение
Китайцы открыли метод решения линейных уравнений в любом количестве неизвестных во времена Ханьской династии (206 г. до н. э, - 220 г. н. э.). Он появляется в известной книге Jiuzhang suanshu [Девять глав математического искусства, см. Шен и др. (1999)], которая была написана в это время, и сохранилась сегодня в варианте третьего века с комментарием Лю Хуэя. Этот метод, по существу, являлся тем, что мы называем «гауссовым исключением», систематическим исключением членов в системе
путем вычитания соответствующего кратного каждого уравнения из уравнения ниже его, пока не получится треугольная система:
затем решением для 
по очереди последовательными подстановками. Этот тип вычислений особенно подходил китайскому устройству, называемому счетной доской, которая вмещала таблицу коэффициентов и облегчала операции, подобные тем, которые мы выполняем с матрицами. Подробнее см. Ли и Ду (1987).
Приблизительно в двенадцатом веке китайские математики открыли, что исключение можно приспособить к системам полиномиальных уравнений в двух и более переменных. Например, можно исключить у между парой уравнений
где 
многочлены в х. Член 
можно исключить, образовав уравнение 
скажем,
Мы можем образовать уравнение степени 
в у, умножив (3) на у, затем снова исключив 
между 
и (1), задав, скажем,
Задача теперь сводится к исключению у между уравнениями (3) и (4), которые имеют меньшую степень в у, чем (1) и (2). Таким образом, можно продолжить индуктивно, пока не получится одно уравнение в х. Этот метод был распространен до четырех переменных в работе Чжу Ши-цзе (1303 г.), озаглавленной Siyuan yujian (Яшмовое зеркало четырех неизвестных).
Как мы увидим в главе 7, полиномиальная задача с двумя независимыми переменными появилась на Западе в семнадцатом веке, в контексте отыскания пересечений кривых. Это привело, сначала, к новому открытию метода исключения для многочленов; лишь позднее этот метод стал основываться на понимании линейных уравнений. Известное уравнение Крамера для решения линейных уравнений названо в его честь после появления в книге об алгебраических кривых [Крамер (1750)].
Упражнения
(см. скан)
