Глава 16. Комплексные числа и функции

16.104. Комплексные функции

Когда Бомбелли (1572) ввел комплексные числа, он также неявно ввел комплексные функции. Решение у кубического уравнения

включает кубический корень комплексного аргумента, когда Однако, в этом контексте комплексные функции были не более (или менее) проблематичны, нежели комплексные числа. Иногда было удивительно узнать, что функции оказывались равными, как когда Лейбниц и де Муавр показали (раздел 6.6), что

где у — многочлен в который равняется но никого не заботило значение функций, пока их уравнения не могли быть проверены с помощью алгебры.

Положение запуталось еще больше с трансцендентными функциями, в особенности, с теми, которые определены интегрированием. Ключевым примером была логарифмическая функция, которая возникает из интегрирования Как только эту функцию поняли, причина алгебраических чудес типа теоремы Лейбница - де Муавра стала намного понятнее.

История комплексного логарифма началась, когда Иоганн Бернулли (1702) заметил, что

и пришел к выводу, что «мнимые логарифмы выражают действительные круговые сектора». На самом деле, он не выполнил интегрирование, но он смог получить

поскольку Эйлер ставит ему в заслугу похожую формулу в письме к нему [Эйлер (1728b)]. Однако, это могло быть почтительным отношением молодого Эйлера к своему бывшему учителю, потому что Иоганн Бернулли продемонстрировал плохое понимание логарифмов по мере того, как продолжалась переписка. Он настойчиво заявлял, что на основании того, что

несмотря на напоминание Эйлера (1728b), что равенство производных не означает равенства интегралов. Эйлер продолжал предполагать, что комплексный алгоритм имеет бесконечное множество значений.

Тем временем Котес (1714) также открыл зависимость между комплексными логарифмами и круговыми функциями:

Осознав важность этого результата, он озаглавил свою работу Harmonia mensurarum (Гармония мер). Рассматриваемыми «мерами» были логарифмическая и обратная функция тангенса, которые «измеряли», соответственно, гиперболу и круг через интегралы Широкий класс интегралов был сведен к этим двум типам, но было не понятно, почему требовались две, видимо, несвязанные «меры». Результат Котеса был первым [не считая близкую осечку Иоганна Бернулли (1702)], который связал их обе, показывая, что в более широкой области комплексных функций логарифм и обратные круговые функции, по существу, одинаковы.

Самой компактной формулировки их соотношения добились около 1740 года, когда Эйлер перенес внимание с логарифмической функции на обратную ей, показательную функцию. Окончательная формула

впервые была опубликована Эйлером (1748а), который вывел ее, сравнивая разложение в ряд обеих частей. Формулировка Эйлера в понятиях однозначной функции дала простое объяснение многих значений

логарифма (которые Котес упустил) как следствия периодичности Прямое объяснение, основанное на определении как интеграла, было невозможно, пока Гаусс (1811) не внес ясность в значение комплексных интегралов и не указал их зависимость от пути интегрирования (см. раздел 16.3)

Формула Эйлера также показывает

и, следовательно, дает более глубокое объяснение формулы Лейбница - де Муавра. В более общем смысле, теоремы сложения для (раздел 12.4) можно рассматривать как следствия намного более простой формулы для показательной функции

Мнимая функция была в такой степени гораздо понятнее, чем ее действительные составные части что было трудно обойтись без нее, и формула Эйлера дала математикам сильный толчок к окончательному принятию комплексных чисел. Более подробное описание роли логарифмических и показательных функций в развитии комплексных чисел можно найти у Каджори (1913).

Почти в то же время, когда Эйлер пролил свет на Даламбер нашел много действительных функций, которые встречаются естественным образом в парах как действительная и мнимая части комплексных функций — в гидродинамике. Как говорилось в разделе 13.5, Даламбер (1752) открыл уравнения

связывающие составляющие скорости в двумерном установившемся безвихревом течении жидкости. Уравнения (1) и (2) возникают из требований, что должны быть полными дифференциалами, в этом случае еще один полный дифференциал имеет вид

Даламбер пришел к выводу, что это означает, что функция числа так что

Чтобы почувствовать силу этого результата, следует забыть современное определение функции, по которому и(х,у) функция для любых функций В контексте восемнадцатого столетия, «функция» была вычислима из при помощи элементарных операций; на худой конец, была степенным рядом в Это налагает строгое ограничение на а именно, что

Это были именно те уравнения, которые Даламбер нашел в гидродинамических исследованиях, но их назвали уравнениями Коши-Римана, потому что эти математики подчеркнули их ключевую роль в изучении комплексных функций. Понятие комплексной функции утвердилось, когда Коши (1837) показал, что функции где следует лишь быть дифференцируемой, чтобы быть выразимой как степенной ряд в Поэтому этого достаточно, чтобы определить, что комплексной функцией является та, которая дифференцируема относительно для того, чтобы гарантировать, что определена со строгостью восемнадцатого века. Отсюда следует, в частности, что первая производная влечет за собой производные всех порядков, и, что значения в любой окрестности определяют ее значения повсюду. Эта «строгость» в понятии комплексной функции — достаточное ограничение, чтобы дать возможность доказать нетривиальные свойства, но в то же время она оставляет достаточно гибкости, можно сказать «текучести», чтобы охватить важные общие ситуации.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)