22.150. Классификация поверхностей

Между 1850-ми и 1880-ми гг. несколько направлений исследований привели к необходимости топологической классификации поверхностей. Одно направление, идущее от Эйлера, — классификация многогранников. Другим было представление алгебраических кривых римановой поверхностью, начатое Риманом (1851, 1857). С этим связана задача классификации групп симметрии мозаик, рассмотренная Пуанкаре (1882) и Клейном (1882b) (раздел 22.6). Наконец, существовала задача классификации гладких замкнутых поверхностей в обыкновенном пространстве [Мёбиус (1863)]. Эти различные направления исследований сошлись, когда осознали, что в каждом случае поверхность можно подразделить на грани с помощью ребер (конечно, не обязательно прямых), с тем чтобы она стала обобщенным многогранником. Обобщенные многогранники — это то, что традиционно называли замкнутыми поверхностями, теперь топологи их описывают как компактные и без границы.

Доказательство с подразбиением для инвариантности эйлеровой характеристики применяется к любому такому многограннику, не только к гомеоморфным сфере и не только к имеющим прямые ребра и плоские грани. Разные математики [Риман (1851), Жордан (1866)] пришли к заключению, что любая замкнутая поверхность определяется, вплоть до гомеоморфизма, ее эйлеровой характеристикой. Выяснилось также, что другие возможные эйлеровы характеристики были представлены поверхностями «нормальной формы», видимыми на рисунке 22.1, которые были открыты Мёбиусом. Без сомнения, правдоподобно, что эти формы отличны, топологически, из-за различного количества «дыр» в них. Главная часть доказательства — показать, что любая замкнутая поверхность гомеоморфна одной из них.

Предположения Римана (что поверхность — это риманова поверхность) и Мёбиуса (что поверхность гладко вложена в были

недостаточно специальными, чтобы дать чисто топологическое доказательство, и, вдобавок, они содержали скрытое допущение ориентируемости («двусторонности»). Строгое довазательство, исходя из аксиоматического определения обобщенного многогранника, дано Деном и Хегардом (1907). Замкнутыми ориентируемыми поверхностями, несомненно, оказываются те, которые изображены на рисунке 21.1, но, кроме того, существуют неориентируемые поверхности, которые негомеоморфны ориентируемым поверхностям.

Рисунок 22.1: Замкнутые ориентируемые поверхности Неориентируемую поверхность можно определить как поверхность, которая содержит лист Мёбиуса, незамкнутую поверхность, открытую независимо Мёбиусом и Листингом в 1858 году (рисунок 22.2). Замкнутые неориентируемые поверхности не могут встречаться ни в вачестве римановых поверхностей, ни лежать в без пересечения самих себя; тем не менее, они включают некоторые важные поверхности, такие как проективная плоскость (упражнение 8.5.5). Неориентируемые поверхности также определяются, вплоть до гомеоморфизма, эйлеровой характеристикой.

Рисунок 22.2: Лист Мёбиуса

Формам замкнутых ориентируемых поверхностей Мёбиуса Клейн (1882b) придал стандартные многогранные структуры. Это «минимальные» подразбиения как раз с одной гранью и, за исключением сферы, как раз с одной вершиной. Когда подразбиение поверхности Клейна разрезается вдоль краев, получаем фундаментальный многоугольник, из которого можно реконструировать поверхность, идентифицируя одинаково обозначенные края [рисунок 22.3, который взят из работы Гильберта и Кон-Фоссена (1932)].

Рисунок 22.3: Построение поверхности склеиванием краев Часто удобнее работать скорее с многоугольником, чем с поверхностью или многогранной структурой. Например, после Брахана (1921), в большинстве довазательств теоремы о классифивации использовались скорее многоугольники. чем многогранники, их «разрезали и склеивали» (вместо подразбиения и амальгамирования), пова не получали фундаментальные многоугольники Клейна. Фундаментальный многоугольник дает очень легкое вычисление эйлеровой характеристики х и повазывает, что она связана с родом (количеством «дыр») по

(упражнение 22.3.1). Конечно, род определяет поверхность проще, чем

эйлерова характеристика, но мы увидим, что эйлерова характеристика лучше отражает геометрические свойства.

Упражнения

(см. скан)