Глава 14. Комплексные числа в алгебре

14.91. Невозможные числа

В нескольких последних главах часто утверждалось, что некоторые тайны, формула де Муавра для (раздел 6.6), факторизация многочленов (раздел 6.7), классификация кубических кривых (раздел 8.4), точки ветвления (раздел 10.5), род (раздел 11.3) и поведение эллиптических функций (разделы 11.6 и 12.6) — становятся прозрачными с введением комплексных чисел. Что комплексные числа делают все это и больше — одно из чудес математики. В начале своей истории, комплексные числа а считались «невозможными числами», их терпели только в ограниченной алгебраической области, потому что они казались полезными в решении кубических уравнений. Но их значение оказалось геометрическим, и, в конечном итоге, привело к объединению алгебраических функций с конформными отображениями, теорией потенциала и еще одной «невозможной» областью, неевклидовой геометрией. Это разрешение парадокса было столь мощным, неожиданным и прекрасным, что лишь слово «чудо» представляется адекватным для его описания.

В данной главе мы увидим, как из теории уравнений возникли комплексные числа и дали возможность доказать ее основную теорему, — в какой момент стало ясно, что комплексные числа имели значение далеко за пределами алгебры. Их влияние на кривые и теорию функций, к которым имеют отношение конформные отображения и теория потенциала, описаны в главах 15 и 16. Неевклидова геометрия имеет совершенно другие истоки, но пришла туда же, куда и теория функций в 1880-х гг., благодаря комплексным числам. Эта неожиданная встреча описана в главе 18, после нескольких геометрических приготовлений в главе 17.