5.29. Уравнение Пелля у Бхаскары II
Брахмагупта нашел решения в целых числах многих уравнений Пелля 
с помощью своего метода композиции, но он не смог применить его равномерно для всех значений 
Лучшее, что он смог сделать, показать, что если 
имеет решение в целых числах для 
или 
, то 
также имеет решение в целых числах. Его доказательства, что композиция имеет успех в этих случаях можно найти у Сринивасиенгара (1967), с. 111.
Первый общий метод решения уравнения Пелля был дан Бхаскарой II в его Bijaganita (1150 г. н. э.). Он завершил программу Брахмагупты, дав метод, называемый 
или цикличный процесс, который всегда приносит успех в отыскании целых х, у, к при 
или 
. По общему признанию, Бхаскара II не дал доказательства, что цикличный процесс всегда работает, — это впервые сделал Лагранж (1768), — но, фактически, он работает. Доказательство, использующее только понятия, доступные Бхаскаре II, можно найти у Вейля (1984), с. 22. Мы просто опишем цикличный процесс и один из его самых эффектных успехов — решение 
При заданных относительно простых числах a и b, так что 
мы составляем композицию тройки 
с тройкой 
полученной из тривиального уравнения
Результат — тройка 
масштаб которой
можно уменьшить 
возможно неинтегрируемой) тройки
Теперь мы выбираем 
так что 
целое число, и оказывается, что 
тоже целые числа. Если мы также выберем 
так что 
по возможности наименьшее, мы вполне на пути к тройке 
при 
.
Пример, 
[Это пример Бхаскары. См. Коулбрук (1817), стр. 176-178.]
Решение. Уравнение 
дает нам тройку 
(8,1, 3). Мы составляем композицию (8,1, 3) с 
получая тройку 
следовательно,
Выбирая 
(потому что 
— ближайший квадрат к 
, при котором 3 делит 
мы получаем тройку 
, поэтому уже 
. Мы уменьшаем масштаб дальше до тройки 
. Составление композиции 
с собой дает 
и составление ее композиции заново с 
дает целую тройку (29718, 3805, —1). Наконец, составление композиции последней с собой дает тройку (1766319049, 226153980,1).
Таким образом, уравнение имеет решение в целых числах 
Этот удивительный пример был вновь открыт Ферма (1657), который сформулировал уравнение 
в качестве сложной задачи своему коллеге Френиклу. Решение 
действительно, минимальное ненулевое решение 
которое предполагает, что уравнение Пелля имеют много скрытой сложности — не ожидаешь, что такой короткий вопрос имеет такой длинный ответ. Предположительно, Бхаскара II и Ферма знали, что уравнение Пелля особенно трудно для 
Среди уравнений Пелля для 
это имеет наибольшие минимальные решения, и гораздо большие, чем любое для 
Цикличный процесс немного слишком успешен на 
потому что он завершается раньше, чем что-либо «цикличное» становится очевидным. Фактически, цикличный процесс обнаруживает ту же периодичность, которую мы ранее наблюдали в непрерывной дроби для 
(раздел 3.3), и величина минимального решения связана с длиной периода. Эти факты стали ясны лишь в работе Лагранжа (1768), которая основана на изучении непрерывных дробей.
Упражнения
(см. скан)
