21.144. Разложение идеала
В Z мы видели, что «разделить, значит содержать», потому что
В 
мы можем тогда сказать, что неглавный идеал 
ведет себя как общий делитель 
потому что
Несомненно, мы можем ожидать, что 
наибольший общий делитель 
поскольку в Z всегда верно, что 
И не только потому, что мы можем ожидать, что 
простое число. В Z мы отмечаем, что 
простое число, если и только идеал 
максимален; то есть, единственный идеал, собственно содержащий 
само 
Это происходит потому, что любое а 
взаимно простое число к 
следовательно, та 
для некоторых тип, поэтому 1 есть в любом идеале, содержащем и 
Доказать, что 
максимально даже легче. Мы предполагаем, что 
что означает, что то — четное. Но тогда 
следовательно, 1 есть в любом идеале, содержащем и 
Поэтому таким идеалом является само 
Подведем итог: если идеалы в 
имеют свойства делимости, похожие на свойства в 
то 
и он — простое число. Дедекинд (1871) определил произведение идеалов, с тем чтобы делимость вела себя как ожидается.
Определение. Если 
идеалы, то
Легко проверяется, что 
идеал и (с большей трудностью), что включение понятия делимости согласуется с обычным понятием: В делит А, если есть идеал С, так что 
Однако, радует именно то, что произведение идеалов объясняет неоднозначное разложение 
на простые множители в
разлагая обе стороны на одинаковые произведения идеалов. По существу, мы имеем
В качестве примера, мы докажем первое из этих утверждений. Разложение идеала 
Оно следует из определения произведения идеалов, что
Добавив элементы 
из 
мы находим 
Отсюда следует, что все кратные 2 находятся в 
то есть, 
содержит (2).
Обратно, любой элемент 
есть сумма произведений членов 
Любое произведение, включающее 
есть кратное 2, и любое произведение, включающее 
тоже. Поэтому любой элемент 
есть кратное 2, следовательно, 
содержит (2), что и требовалось.
Упражнения
(см. скан)
