2.11. Конические сечения
Конические сечения — это кривые, полученные пересечением кругового конуса плоскостью: гиперболами, эллипсами (включая круги) и параболами (рисунок 2.7, слева направо). Сегодня мы лучше знаем конические сечения в виде их уравнений в декартовых координатах:
В более общем смысле, уравнение второй степени представляет коническое сечение или пару прямых линий, результат, который был доказан Декартом (1637).
Рисунок 2.7: Конические сечения
Изобретение конических сечений приписывается Менехму (четвертый век до н. э.), современнику Александра Великого. Рассказывают, что Александр попросил Менехма преподать краткий курс в геометрию, но Менехм отказался, сказав: «Царской дороги в геометрию нет». Менехм использовал конические сечения, чтобы дать очень простое решение задачи удвоения куба. В аналитических обозначениях его можно описать так отыскание пересечения параболы 
с
гиперболой 
Это дает
Хотя греки приняли это как «построение» для удвоения куба, они, очевидно, никогда не обсуждали инструменты для фактического проведения конических сечений. Это вызывает недоумение, поскольку естественное обобщение циркуля тотчас же наводит на мысль о себе (рисунок 2.8). Ручьи А устанавливается в неподвижное положение относительно плоскости 
тогда как другая ручьи вращается вокруг нее под постоянным углом в, порождая конус с А в качестве ее оси симметрии. Карандаш, который свободно скользит в пазе на этой второй ручке, чертит сечение конуса, лежащее в плоскости 
Согласно Кулиджу (1945), с. 149, этот инструмент для проведения конических сечений впервые описан лишь в 1000 г. н. э. арабским математиком аль-Куджи. Тем не менее, почти все теоретические факты, которые можно было пожелать узнать о конических сечениях, уже были разработаны Аполлонием (около 250-200 гг. до н. э.).
Рисунок 2.8: Обобщенный циркуль
Теория и практика конических сечений встретились, наконец, когда Кеплер (1609) открыл, что орбиты планет являются эллипсами, а Ньютон (1687) объяснил этот факт с помощью своего закона гравитации. Это удивительное доказательство теории конических сечений часто описывается в понятиях основного исследования, получая свою давно запоздавшую награду, но, возможно, ее также можно рассматривать как упрек грекам за пренебрежение приложениями. (Кеплер, вероятно, не был уверен в том, такой она была. До конца своих дней он был весьма горд своей теорией, объясняющей расстояния до планет на основе пяти правильных многогранников (раздел 2.2). Обаятельный и парадоксальный характер Кеплера тепло описан в двух замечательных книгах, Кестлера (1959) и Банвиля (1981).
Упражнения
(см. скан)
