8.51. Однородные координаты

Способ, которым проективная геометрия позволяет расположить бесконечность на том же основании, что и конечные точки плоскости, интуитивно понятен, когда представляешь себе горизонт на картине, который является линией, как любая другая. Однако самый удобный способ формализовать идею — ввести координаты. Во времена Дезарга этого не произошло, возможно, из-за сопротивления координатам в элементарной геометрии, которая тогда господствовала (см. разделы 7.4 и 7.5). Подходящие координаты, ныне известные как однородные координаты, были изобретены Мёбиусом (1827) и Плюкером (1830). Однородные координаты дают естественное расширение декартовой плоскости с помощью точек в бесконечности, присваивая новые координаты точкам, уже существующим, и создавая новые точки с отложенными координатами.

Однородные координаты точки это все тройки действительных чисел при то есть, все тройки действительных чисел при Если, следуя Клейну (1925), мы полагаем, что это координаты х, у в плоскости тогда эти тройки — как раз координаты точек на линии в от 0 до (рисунок 8.17). Таким образом, однородные координаты дают взаимно однозначное соответствие между точками и негоризонтальными линиями, проходящими через Горизонтальные линии, точки которых имеют координаты (х,у, 0), естественно, соответствуют точкам в бесконечности. Более того, имеется естественный способ определения, какие точки в бесконечности «принадлежат» заданной кривой.

Рисунок 8.17: Построение однородных координат

Всякая кривая С в выраженная уравнением

может быть заново выражена уравнением, скажем,

для Если многочлен степени мы можем распространить (2) на все значения перемножив на задавая

где однородный многочлен степени [то есть, если есть решение (3), то тоже, как и должно быть, поскольку эти тройки являются координатами одной и той же точки]. Например, если кривая в это линия тогда соответствующее однородное уравнение (3) — .

Уравнение (3) удовлетворяется всеми точками кривой С, вместе с другими возможными тройками координат при Последняя образует горизонтальные линии, к которым приближаются линии от О до точек С по мере того, как X или поэтому естественно рассматривать их как точки в бесконечности С. В частности, каждая линия имеет одну точку в бесконечности с координатами для всех

В геометрических терминах, мы расширили -плоскость до действительной проективной плоскости заново интерпретировав каждую точку как линию от О до и завершив это множество линий до множества всех линий, проходящих через О. Горизонтальные линии, которые не имеют интерпретации в -плоскости. интерпретируются как точки в бесконечности. В процессе этого, каждая алгебраическая кривая С в -плоскости расширяется до своего проективного завершения уравнением включением точек в бесконечности, которые являются пределами своих обыкновенных точек. Мы можем смоделировать поверхностью, если каждая линия, проходящая через О, заменяется своим пересечением с единичной сферой, а именно, парой антиподальных (диаметрально противоположных) точек. Точки в бесконечности становятся тогда антиподальными парами на экваторе который показывает. что они такие же, как и все другие точки. Линия заданная линейным уравнением имеет в качестве завершения проективную линию с однородным линейным уравнением которое представляет плоскость, проходящую через О. Таким

образом, точки лежат в плоскости, проходящей через О, и, следовательно, моделируются антиподальными парами на большом круге. Линия в бесконечности, просто состоит из антиподальных пар на экваторе, и, следовательно, такая же, как любая другая проективная линия.

Проективную линию можно мысленно себе представить как большой полукруг (который содержит одного представителя от каждой антиподальной пары) с установленными концами. Это замкнутая кривая, поэтому Кеплер и Дезарг не слишком ошибались, считая проективную линию кругом. Проективная плоскость, однако, это не сфера, а нечто более особенное, как заметил Клейн (1874). На сфере, любая простая замкнутая кривая разделяет поверхность на две части. «Малая» замкнутая кривая в проективной плоскости то есть, кривая строго содержащаяся в полусфере модели, также разделяет но «большая» кривая нет. Экватор, например, не отделяет верхнюю полусферу от нижней, потому что полусферы — это то же самое место в процессе идентификации антиподальной точки! Менее парадоксальный взгляд на это виден, если вернуться к модели элементами которой являются линии, проходящие через О. Линии, проходящие через экватор, не отделяют линии, проходящие через верхнюю полусферу, от линий, проходящих через нижнюю полусферу, потому что это те же самые линии.

Упражнения

(см. скан)

(см. скан)