7.41. Ферма и Декарт
В истории математики было несколько случаев, когда важное открытие сделано независимо и почти одновременно двумя личностями: например, неевклидова геометрия Бойяи и Лобачевским, эллиптические функции Абелем и Якоби, исчисление Ньютоном и Лейбницем. Мера нашего возможного рационального объяснения этих замечательных событий должна основываться на идеях, уже висящих «в воздухе», условиях, ставших благоприятными для их кристаллизации. Как я пытался показать в предыдущем разделе, в начале семнадцатого века условия для аналитической геометрии были благоприятными. Поэтому совсем не удивительно, что предмет был открыт независимо Ферма (1629) и Декартом (1637). (Труд Декарта Геометрия (La Geometrie), возможно, на самом деле начат в 1620-х годах. В любом случае, он независим от Ферма, работа которого не публиковалась до 1679 года.)
Удивительно, однако, узнать, что как Ферма, так и Декарт, начали с аналитического решения одной и той же классической геометрической задачи, задачи о четырех линиях Аполлония, и что главное открытие каждого заключалось в том, что уравнение второй степени соответствует коническим сечениям. До этого момента Ферма был более
методичен, нежели Декарт, но он дошел лишь до этого. Он довольствовался тем, что оставил свою работу в «простом и грубом» состоянии, уверенный, что она качественно вырастет, когда ее подпитают новые изобретения.
С другой стороны, Декарт рассмотрел множество кривых более высокой степени и отчетливо понял мощь алгебраических методов в геометрии. Однако он хотел утаить эту мощь от своих современников, особенно от соперника-математика Роберваля, как он признал в письме к Мерсенну [см. Бойер (1956), с. 104]. Геометрия была написана, чтобы похвалиться своими открытиями, а не объяснить их. В ней немного систематического изложения, и доказательства часто опущены с саркастическим замечанием, как например: «Я не перестану объяснять это подробнее, потому что я лишу вас удовольствия овладеть этим самостоятельно» 
Тщеславие Декарта столь велико, что приятно видеть, как он порой терпит неудачу, как на с. 91: «Отношения между прямой и кривой линиями неизвестны, и, я считаю, не могут быть обнаружены человеческим разумом». Он имеет в виду нерешенную тогда задачу определения длины кривых, но он высказался слишком рано, поскольку в 1657 году Нейл и ван Хейрет нашли длину дуги полукубической параболы 
а вскоре исчисление сделало такие задачи рутинными. [Полное и интересное описание истории длины дуги можно найти у Гофмана (1974), гл. 8].
Упражнения
(см. скан)
