2.12. Кривые более высокой степени

Грекам недоставало систематической теории кривых более высокой степени, потому что им недоставало систематической алгебры. Они

могли найти то, что равнялось декартовым уравнениям отдельных кривых («симптомы», как они их называли; [см. ван дер Варден (1954), с. 241], но они не рассматривали уравнения в общем или не замечали какие-либо их свойства, существенные для изучения кривых, например, степень. Тем не менее, они изучали множество интересных специальных кривых, о которые Декарт и его последователи обломали себе зубы, когда в семнадцатом веке, наконец, появилась алгебраическая геометрия. Отличное и хорошо иллюстрированное описание этих ранних исследований можно найти у Брискорна и Кнеррера (1981), глава 1.

В этом разделе мы должны ограничиться краткими замечаниями на нескольких примерах.

Циссоида Диоклеса (примерно 100 г. до н. э.)

Эта кривая определяется с использованием вспомогательного круга, который для удобства мы примем за единичный круг, и вертикальных линий через Это множество всех точек видимое на рисунке 2.10. Изображенная часть следует из изменения х между и 1. Это кубическая кривая с декартовым уравнением

Это уравнение показывает, что если (х,у) — точка на кривой, тогда тоже. Следовательно, получаем полную картину ее, отражая часть, показанную на рисунке 2.10, в ось х. Результат — остроконечная точка в точка возврата, явление, которое впервые появляется с кубическими кривыми. Диоклес показал, что циссоиду можно использовать для удвоения куба, которое вероятно (хотя все еще не очевидно!), как только узнаешь, что эта кривая — кубическая.

Рисунок 2.10: Построение циссоиды

Спирические сечения Персея (около 150 г. до н. э.)

Не считая сферы, цилиндра и конуса, все сечения которых являются коническими, одной из немногих поверхностей, изучаемых греками, был тор. Эту поверхность, порожденную вращением круга вокруг оси за пределами круга, но в той же самой плоскости, греки называли spira, - отсюда название спирические сечения для сечений плоскостями, параллельными осям. Эти сечения, которые первым изучал Персей,

имеют четыре качественно отличные формы [см. рисунок 2.11, который переделан из работы Брискорна и Кнеррера (1981), с. 20].

Рисунок 2.11: Спирические сечения

Эти формы — выпуклые овалы, «сжатые» овалы, восьмерка и пары овалов — были вновь открыты в семнадцатом веке, когда геометры-аналитики взглянули на кривые 4-й степени, примерами которых являются спирические сечения. Что касается соответствующего выбора тора, то кривая восьмерки становится лемнискатой Бернулли, а выпуклые овалы — овалами Кассини. Кассини (1625-1712) был выдающимся астрономом, но оппонентом теории гравитации Ньютона. Он отрицал эллипсы Кеплера и вместо них в качестве орбит для планет предложил овалы Кассини.

Эпициклы Птолемея (140 г. н. э.)

Эти кривые известны из знаменитого астрономического труда, Almagest Клавдия Птолемея. Сам Птолемей приписывал идею Аполлонию. Представляется почти несомненным, что это идея Аполлония, который владел коническими сечениями, что иронично, потому что эпициклы были у него кандидатами для планетарных орбит, обреченными на поражение как раз теми самыми коническими сечениями.

Эпицикл в простейшей форме — это путь, пройденный точкой по кругу, который вращается на другом круге (рисунок 2.12). Более сложные эпициклы можно определить, имея третий круг, который вращается на втором и т. д. Греки ввели эти кривые, чтобы попытаться примирить сложные движения планет относительно неподвижных звезд, с геометрией, основанной на круге. В принципе, это возможно! Лагранж (1772) показал, что любое движение вдоль небесного экватора можно аппроксимировать сколь угодно близко к эпициклическому движению, а более современный вариант результата можно найти у Штернберга (1969). Но ошибка Птолемея была в том, что он, прежде всего, признал кажущуюся сложность движений планет. Как мы сейчас знаем, движение становится простым, когда рассматриваешь движение скорее относительно Солнца, чем Земли, и допускаешь, что орбиты являются эллипсами.

Рисунок 2.12. Порождение эпицикла

Эпициклы все еще играют роль в технике, и их математические свойства интересны. Некоторые из них — замкнутые кривые и оказываются алгебраическими; то есть, вида р(х,у) для многочлена Другие, такие как результат вращения кругов, радиусы которых

имеют иррациональное отношение, лежат плотно в определенной области плоскости и, следовательно, не могут быть алгебраическими; алгебраическая кривая может пересевать прямую линию в единственном конечном множестве точек, соответствующем корням полиномиального уравнения а плотные эпициклы пересевают несколько линий бесконечно часто.

Упражнения

(см. скан)