22.152. Эйлерова характеристика и кривизна
Есть еще одно более «внутреннее» доказательство теоремы Декарта, которое обнажает тот факт, что полный внешний пространственный угол действительно равен 
эйлерова характеристика. Действительно, знание полного внешнего угла дает доказательство эйлеровой характеристики в формуле многогранника. Видимо, именно этим способом Декарт открыл свой вариант формулы.
Ключевой шаг — показать, что внешний пространственный угол в вершине 
внутренне выразим как 
где 
плоские углы многогранного угла, которые пересекаются в 
Это не углы 
омежду плоскостями, которые ограничивают внешний пространственный угол, но оказывается (упражнение 23.5.1), что
для каждого 
откуда мера внешнего пространственного угла, которая которая вытекает из 
по теореме Гарриота (раздел 17.6), также вытекает из 
Зная теперь, что внешний пространственный угол в 
равняется 
плоских углов в 
мы получаем
где V — общее количество вершин. Группируя все плоские углы в соответствии с типами граней, мы также находим (упражнение 22.5.2), что
откуда
В случае выпуклых многогранников, где мы уже знаем, что полный внешний пространственный угол 
это дает эйлерову характеристику 
Еще важнее, этот вывод верен для многогранников произвольной эйлеровой характеристики, показывая, что полный внешний пространственный угол действительно такой же, как эйлерова характеристика, вплоть до постоянного кратного.
Существует похожее внутреннее доказательство теоремы Гаусса-Бонне, опять справедливое для произвольной эйлеровой характеристики, которая показывает, что
(упражнение 22.5.3). Доказательство Лежандра (1794) эйлеровой формулы многогранника — частный случай доказательства для постоянной кривизны.
Тагам образом, эйлерова характеристика регулирует полную кривизну поверхности. В частности, если кривизна постоянна, она должна иметь такой же знак, как эйлерова характеристика. Это, в свою очередь, имеет следствия для геометрии поверхности. Как мы видели в разделе 17.4, поверхности постоянной положительной кривизны имеют сферическую геометрию, поверхности нулевой кривизны имеют евклидову геометрию, и поверхности отрицательной кривизны имеют гиперболическую геометрию. В следующем разделе мы увидим, что имеется естественный способ наложить постоянную кривизну на поверхности произвольной эйлеровой характеристики. Тогда отсюда последует, что естественная геометрия поверхности — сферическая, евклидова или гиперболическая, смотря по тому, какова ее эйлерова характеристика: положительная, отрицательная или нулевая. Более того, если принимается, что абсолютное значение кривизны равно 1, то теорема Гаусса-Бонне дает
Это делает поверхность топологически полностью подчиненной геометрии, по крайней мере, для ориентируемых поверхностей, потому что говорит о том, что топология поверхности полностью определяется знаком ее кривизны и площадью.
Эти результаты в неявном виде присутствуют в работе Пуанкаре и Клейна в 1880-х гг. Возможно, Клейн первым ясно увидел, как геометрия поверхности определяет ее топологию [см., например, Клейн (1928), с.264].
Упражнения
(см. скан)
