4.23. Площадь параболического сегмента
Метод исчерпывания довел до полной зрелости Архимед (287-212 гг. до н. э.). Среди его самых известных результатов были объем и площадь поверхности шара и площадь параболического сегмента. Как указано в разделе 4.1, Архимед первым открыл эти результаты нестрогими методами, позже подтвердив их методом исчерпывания. Возможно, самое интересное и естественное из его доказательств исчерпания — доказательство площади параболического сегмента. Сегмент исчерпывается многоугольниками аналогично исчерпанию круга Евдокса, но площадь получается сразу и не только в пропорции к другой фигуре.
Чтобы слегка упростить построение, мы допускаем, что сегмент разрезается хордой перпендикулярно оси симметрии параболы. Архимед делит параболический сегмент на треугольники 
как показано на рисунке 4.8 (обозначенные их нижними индексами). Средняя вершина каждого треугольника лежит на параболе на полпути между двумя другими (измеренными горизонтально). Эти треугольники ясно исчерпывают параболический сегмент, и поэтому остается вычислить их площадь. Совершенно удивительно, это превращается в геометрический ряд.
Рисунок 4.8: Параболический сегмент
Мы кратко укажем, как это случается, изучив 
(рисунок 4.9). Поскольку 
по определению параболы. С другой стороны, 
следовательно, 
Теперь 
это сумма треугольников 
и 
которые имеют одно и то же основание 
и «высоту» 
следовательно, равную площадь. Мы только что видели, что 
имеет половину основания 
и имеет ту же самую высоту, следовательно, (называя фигуры равными, когда они имеют ту же самую площадь)
По симметрии, 
поэтому 
Аналогичный аргумент показывает
и т. д., каждая новая цепочка треугольников имеет одну четвертую площади предыдущей цепочки. В результате,
Конечно, Архимед не пользуется бесконечным рядом, а использует исчерпание, показывая, что любую площадь 
можно превысить, взяв достаточно много треугольников 
Сумма конечного геометрического ряда, необходимая для этого, была известна из Начал Евклида. Книга IX, где Евклид использовал ее для теоремы о совершенных числах (см. раздел 3.2).
Рисунок 4.9: Треугольник в сегменте
Упражнения
(см. скан)
