19.127. Группы подстановок
Галуа понимал «группу» в смысле группы подстановок конечного множества, поэтому его определение только устанавливало, что произведение двух перестановок в группе должно опять быть членом группы. Ассоциативность, единичность и обратные элементы были следствиями его допущений, и, несомненно, слишком очевидными, чтобы считаться важными с его точки зрения. Работа Галуа была опубликована лишь в 1846 году, и к тому времени теория конечных групп подстановок была подхвачена и систематизирована Коши (1844). Коши в своем определении группы так же требовал только замыкания под действием произведения, но он осознал важность единичности и обратных элементов, введя обозначение 1 для единичности и для обратного элемента 
Кэли (1854) первым рассмотрел возможность более абстрактных элементов группы, и вместе с ней необходимость постулировать ассоциативность. (Между прочим, одна из немногих групп, для которых ассоциативность неочевидна, — группа, определяемая построением хорды на кубической кривой: см. разделы 11.6 и 16.5). Он положил, что элементами группы являются просто «символы», с символическим произведением 
записанным 
и при соблюдении закона 
а также однозначный элемент 1, при соблюдении законов 
Он по-прежнему допускал, что всякая группа была конечна, однако это значило, что существование обратных элементов не нужно было постулировать, только справедливость сокращения.
Существование обратных элементов в конечной группе 
как определено Кэли, следует из аргумента, который использовал Коши (1815) и более полно развил в Коши (1844). Если 
то все степени 
принадлежат 
следовательно, они, в конечном итоге, включают рекурсию одного и того же элемента
Тогда, допуская, что справедливо сокращение 
с обеих сторон, 
единичный элемент 
обратный элемент А.
Необходимость сначала постулировать обратные элементы возникает с бесконечными группами, где этот аргумент больше не приемлем. Геометрия исторически была важнейшим источником бесконечных групп, как мы увидим в разделе 19.5. Именно в расширении теории абстрактных групп Кэли, которая охватывает группы симметрии бесконечных мозаик, Дик (1883) впервые упомянул об обратных элементах в определении группы. Мы вернемся к понятию группы Дика в разделе 19.6.
Теорема Кэли (1878) показывает, что абстрактность понятия группы, в некотором смысле, пуста, потому что всякая группа, по существу, та же, что и группа подстановок. Кэли доказал теорему только для конечных групп, где она более ценна, но доказательств о легко распространяется на произвольные группы (см. упражнения).
Упражнения
(см. скан)
