подмножеств 
По-прежнему здесь не было признака полного упорядочения 
конечно, если сомневались в существовании полного упорядочения 
это бросало тень на аксиому о выборе. Дальнейшие сомнения возникли, когда было установлено, что аксиома о выборе имела невероятные последствия в теории мер.
Первое из них, открытое Витали (1905), состояло в том, что круг можно разложить на счетное число непересекающихся конгруэнтных множеств. Поскольку конгруэнтные множества имеют одинаковую меру Лебега, отсюда легко следует, что рассматриваемые множества неизмеримы по Лебегу (по счетной аддитивности; см. упражнения 23.4.2 23.4.4).
Еще более парадоксальные декомпозиции были даны Хаусдорфом (1914) (для сферы) и Банахом и Тарским (1924) (для шара). Теорема Банаха-Тарского утверждает, что единичный шар можно разложить на конечное число множеств, которые при движении в пространстве как твердые тела образуют два единичных шара! Это показывает, что не все подмножества шара измеримы, даже если скорее требуется только конечная, чем счетная аддитивность. Отличное обсуждение парадоксальных декомпозиций и их связей с другими частями математики, см. Вейгон (1985).
Теоретико-мерные следствия парадоксальных декомпозиций следуют из геометрически естественного допущения, что конгруэнтные множества имеют одинаковую меру. Если отказаться от этого допущения и потребовать только счетной аддитивности и нетривиальности (то есть, не все подмножества имеют нулевую меру), то конфликт с аксиомой о выборе, видимо, исчезает. Из этих допущений еще не выведено ни одного противоречия, но Улам (1930) показал, что любое множество, обладающее такой мерой, должно быть необычайно большим, действительно, достаточно большим, чтобы быть моделью для самой теории множеств, и, в частности, больше, чем кардинальные числа 
Поэтому, если 
имеет нетривиальную счетно аддитивную меру, то 
должно быть гораздо больше, чем 
и мы, по-прежнему, имеем конфликт с гипотезой о континууме. (Подробнее о «большой величине» моделей см. раздел 23.8).
Еще более желаемой аксиомой, чем измеримость, была бы измеримость по Лебегу всех подмножеств 
Это приходит в противоречие с аксиомой о выборе, по теореме Витали, но, тем не менее, показано, что не противоречит теории множеств Соловая (1970), допуская существование большого кардинального числа. Шела (1984) показал, что допущение о большом кардинальном числе необходимо.
Таким образом, измеримость всех подмножеств 
тесно связана с существованием множеств, достаточно больших, чтобы смоделировать всю теорию множеств. Эта внушающая испуг концепция, по-видимому, является ответом на многие фундаментальные вопросы. Мы обратимся к ней опять в следующих разделах, когда будем исследовать влияние теории множеств на логику. Между тем, тех, кто хотел бы получить более подробное описание развития теории множеств и спорных аксиом, в частности, мы отсылаем к ван Далену и Монна (1972). Последние разработки в теории больших кардинальных чисел, которые, как считают некоторые, прольют новый свет на гипотезу о континууме, см. Канамори (1994) и Вудин (1999).
Упражнения
(см. скан)
(множеств) имеется выбирающая функция 
так что 
для каждого 
(Поэтому 
«выбирает» элемент из каждого множества 
Аксиома представляется столь правдоподобной, что первые специалисты по теории множеств использовали ее почти неосознанно, и она впервые привлекла внимание в доказательстве Цермело (1904), что любое множество 
можно вполне упорядочить (то есть, привести его во взаимно однозначное соответствие с порядковым числом). Это походило на движение вперед к гипотезе о континууме. Но доказательство Цермело не дало ничего, кроме существования полного упорядочения 
при наличии выбирающей функции для множества
