9.59. Исчисление ряда Ньютона

Ньютон сделал много своих самых важных открытий в 1665/6 гг. после изучения работ Декарта, Виета и Валлиса. В издании Геометрии Шутена он столкнулся с правилом Гудда для касательных к алгебраическим кривым, которое с точки зрения Ньютона фактически было полным дифференциальным исчислением. Хотя Ньютон сделал вклады в дифференцирование, которые нам полезны, например, цепное правило, дифференцирование было малой частью его исчисления, которое зависело, главным образом, от операций с бесконечным рядом. Поэтому характеризовать Ньютона как основателя исчисления — значит вводить в заблуждение, если не понимать исчисление, как понимал его он, как алгебру бесконечного ряда. В этом исчислении, дифференцирование и интегрирование выполняются почленно на степенях х и, следовательно, сравнительно тривиальны.

В начале своей главной работы по исчислению, Трактата о методах ряда и флюксиях (известного также под сокращенным латинским названием De methodis), Ньютон четко формулирует свой взгляд на роль бесконечного ряда:

Поскольку операции вычисления в числах и с переменными очень похожи... я удивлен, что никому не пришло в голову

(если вы исключите Н. Меркатора с его квадратурой гиперболы) приспособить учение, недавно созданное для десятичных чисел, похожим образом к переменным, особенно потому, что в таком случае открыт путь к более поразительным последствиям. Ибо поскольку это учение в ряду имеет такое же отношение к Алгебре, какое учение в десятичных числах имеет к общей Арифметике, его операции Сложения, Вычитания, Умножения, Деления и извлечения Корня можно легко узнать из последнего.

[Ньютон (1671), стр. 33-35]

Квадратура (определение площади) гиперболы, упомянутая Ньютоном, — это результат, который бы мы записали как

впервые опубликован Меркатором (1668). Ньютон открыл тот же самый результат в 1665 году, и частично именно страх потерять приоритет заставил его написать De methodis и более раннюю работу De analysi [Ньютон (1669)]; полное название на английском языке On Analysis by Equations Unlimited in Their Number of Terms (Анализ при помощи уравнений с бесконечным числом членов). Ньютон также независимо открыл ряды для в De analysi, не зная, что все три ряда уже были открыты индийскими математиками (см. раздел 10.1).

Оба результата, Меркатора и индийцев, получены методом разложения геометрического ряда и интегрирования почленно. В нашей системе обозначений

и

Ньютон рутинно использовал эти методы в De analysi и De methodis, но он значительно расширил их область действия с помощью алгебраических операций. Он не только получил суммы, произведения, частные и корни, как намечается в его введении к De methodis, но его извлечения корней также распространяются на общее построение обратных функций с помощью новой идеи обращения бесконечного ряда. Например, после того, как Ньютон [Ньютон (1671)] нашел ряд для который, конечно, он установил

и решил (1) для х (которое мы узнаем как экспоненциальную функцию минус 1). Его метод в табличной форме напоминает арифметические вычисления того времени, но эквивалентные установлению подстановке в правую часть (1) и определению а последовательно сравнивая с коэффициентами левой части. Ньютон нашел несколько первых членов

затем уверенно пришел к выводу, что в манере Валлиса. Как он выразился «Теперь после того как извлечены корни за соответствующий период, их иногда по желанию можно распространить, наблюдая аналогию ряда».

Де Муавр (1698) дал формулу для обращения ряда, которая обосновывает такие заключения; впечатляет, что Ньютон смог найти такой элегантный результат с помощью такого непривлекательного метода. Его открытие ряда для [Ньютон (1669), стр. 233, 237] еще более поразительно. Сначала он использовал биномиальный ряд

(хотя без естественного выбора чтобы получить

почленным интегрированием, затем мимоходом констатировал «Я извлек корень, который будет

добавив несколько строк спустя, что коэффициент есть

Упражнения

(см. скан)