10.66. Дробно-степенные ряды
Введение степенных рядов помогло математикам осознать понятие функции (см. также раздел 13.4), обратя внимание на общность выражения а 
Однако, не каждая функция 
выразима как степенной ряд 
Это очевидно в случае функций, которые стремятся к бесконечности, по мере того, как 
поскольку степенной ряд имеет значение 
когда 
Что касается других функций, таких как 
поведение в 
запрещает разложение в степенной ряд по более тонкой причине. Эти функции имеют в 
ветвящееся поведение; они многозначны и, следовательно, они не являются функциями в строгом смысле. Например, функция 
двузначна, потому что каждое число имеет два квадратных корня, каждый с противоположным знаком.
Такое поведение не отражается в степенном ряде 
которому может быть присвоено только одно значение для каждого значения 
Все дробные степени 
многозначны: 
трехзначно, 
четырехзначно и 
и многозначное поведение типично для алгебраических функций вообще. Мы говорим, что у есть алгебраическая функция х, если 
удовлетворяют полиномиальному уравнению р(х,у) 
Из-за невозможности решения большинства полиномиальных уравнений в радикалах (раздел 6.7) следует, что алгебраические функции обычно невыразимы в радикалах, то есть конечными выражениями, построенными из 
и дробных степеней.
Тем не менее, замечательное открытие Ньютона (1671) заключалось в том, что любую алгебраическую функцию можно выразить как дробно-степенной ряд в х:
где 
рациональные числа. Более того, ряд может быть
переписан в виде
то есть, как конечная сумма обыкновенного степенного ряда с дробными степенями х в качестве множителей. Это означает, что в окрестности 
поведение у похоже на поведение конечной суммы дробных степеней.
Например, если 
мы имеем
и вблизи начала координат у имеет поведение, аналогичное 
в частности, имеется два значения у для каждого 
Вклад Ньютона — это остроумный алгоритм для последовательных степеней 
Надлежащего понимания самих дробных степеней не было, пока не приняли, что у и у — это комплексные числа. Это было сделано в девятнадцатом веке, и на этой основе более строгое выведение ряда Ньютона было дано Пиюзе (1850). По этой причине, дробно-степенные разложения алгебраических функций называются разложениями Пиюзе.
Упражнение
(см. скан)
