15.103. Биографические заметки: Риман

Бернхард Риман (рисунок 15.13) родился в деревне Брезеленц, близ Ганновера, в 1826 году и умер в Селаске, Италия, в 1866 году. Он был вторым из шести детей Фридриха Римана, протестанского священника, и Шарлотты Эбель. Вплоть до 13 лет его обучал отец с помощью деревенского школьного учителя, но он показал такие способности быстрого восприятия математики, что они не могли понять его. В 1840 году Риман переехал жить к бабушке в Ганновер, чтобы посещать среднюю школу. После ее смерти в 1842 году он продолжил занятия в школе в Люнебурге, который был ближе к дому, так как его отец переехал в новый приход в деревне Квикборн. В Люнебурге ему очень повезло с директором школы, который распознал его талант и дал ему почитать книги Эйлера и Лежандра. Говорят, что он одолел 800-страничную Theorie des Nombres Лежандра за шесть дней.

Рисунок 15.13: Бернхард Риман

Светлая сторона жизни Римана, которую мы пока что видели, мало чем отличалась от жизни Абеля. Но, как у Абеля, в ней также имелась темная сторона. Семья Римана также была бедна, и страдала от туберкулеза. Его мать, три сестры и сам Риман, в конце концов, умерли от этой болезни. По крайней мере, Риман избежал семейного разлада и очень ранней смерти, которые сделали жизнь Абеля столь трагичной. Во все времена он поддерживал близкие и нежные отношения с семьей,

он прожил достаточно долго, чтобы жениться и стать отцом, и у него также было время тщательно разработать свои великие идеи и приобрести значительных последователей. Опубликованный труд Римана, всего лишь один том, действительно менее обширен, чем труд какого-нибудь другого значительного математика, который дожил до сорока лет. Но еще ни одна другая книга не оказывала такого влияния на современную математику.

Карьера Римана в качестве математика началась вскоре после того, как в 1846 году он поступил в Геттингенский университет. Он намеревался последовать по стопам своего отца и изучать теологию, но, как Эйлер и братья Бернулли до него, он почувствовал слишком сильный зов математики и получил разрешение отца поменять сферу деятельности. Поворот к математике состоял в признании того, где лежал его величайший талант, а не из-за презрения к теологии или философии. Действительно, Риман был глубоко набожным человеком и хорошо начитан в философии, до такой степени, что читатели с тех пор сетовали на влияние языка немецкой философии на его стиль.

Геттинген в 1846 году не был Меккой для математиков, как можно было бы ожидать с великим Гауссом на кафедре математики. Профессора чуждались студентов и не поощряли ни оригинального мышления, ни читали лекций о текущих исследованиях. Даже сам Гаусс читал только элементарные курсы. Через год Риман перевелся в Берлинский университет, где атмосфера была более демократичной, и, где Якоби, Дирихле, Штейнер и Эйзенштейн делились своими самыми последними идеями. Риман был слишком застенчив, чтобы полностью погрузиться в эту радикально иную атмосферу, но он подружился с Эйзенштейном, который был старше его всего на три года, и очень многое узнал от Дирихле. В последующих работах Римана весьма оригинально используются некоторые идеи Дирихле, в частности, квазифизический принцип (на самом деле впервые сформулированный Кельвином) Риман назвал принципом Дирихле. Среди замечательных заключений, которые он вывел из этого принципа, была теорема о том, что кривые топологического рода именно те, которые можно параметризовать рациональными функциями.

Сильная сторона Дирихле состояла в использовании анализа в чистой математике, особенно в теории чисел, и Римана также широко аттестовали как аналитика. Однако он не был тем узким специалистом, какими обычно являются аналитики сегодня. Его сферой деятельности была вся математика, рассматриваемая с аналитической точки зрения. Он видел, где можно использовать анализ, чтобы осветить

математику от теории чисел до геометрии, но он также видел, где сам анализ нуждался в освещении извне. Понятие римановой поверхности и топологическое понятие рода, в особенности, сделали многие ранее с трудом добытые результаты анализа почти очевидными. Живой пример освещения анализа с помощью топологии — объяснение Риманом двойной периодичности эллиптических функций, который мы увидим в разделе 16.4.

Римановы поверхности введены в докторской диссертации Римана [Риман (1851)]. В 1849 году он вернулся в Геттинген и, после получения докторской степени, начал работать, чтобы получить право на должность приватдоцента (читающего лекции). Одним из требований был очерк, которое он выполнил мемуаром о ряде Фурье, где он ввел понятие «интеграла Римана». Интеграл Римана, действительно, не является одной из лучших идей Римана (хотя он один из самых известных студентам сегодня), так как интеграл, введенный позже Лебегом, гораздо лучше годился для предмета (см. главу 23). Другим требованием была лекция, три названия которой он должен был представить факультету университета. Гаусс выбрал третье, которое было самым трудным, об основах геометрии. Однако Риман блестяще оказался на высоте положения, и его лекция Uber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde Liegen (О гипотезах, лежащих в основании геометрии) стала одной из классических в математике [Риман (1854b)]. В ней он ввел главные идеи современной дифференциальной геометрии: -мерные пространства, метрики и кривизну, а также способ, в котором кривизна управляет глобальными геометрическими свойствами пространства. В частном случае двух измерений, эти идеи были уже поняты Гауссом (см. главу 17), поэтому для Гаусса, тогда, в последний год его жизни, радостью и открытием было видеть, насколько дальше продолжил их Риман.

Риман добился цели и стал лектором, получив удовлетворение от того, что привлек неожиданно большую аудиторию (восемь студентов!). В течение следующих нескольких лет он разрабатывал материал для, может быть, своего самого значительного труда [Риман (1857)], который сделал для алгебраической геометрии то, что он ранее сделал [Риман (1854b)] для дифференциальной геометрии. Одним из его студентов в это время был Дедекинд, который позднее придал теории Римана более алгебраическую форму, которая используется сегодня. Дедекинд был также со-редактором сборника трудов Римана и написал очерк о жизни Римана [Дедекинд (1876)], который является основным биографическим источником для этого раздела. Должность лектора

была очень продотворна математически, но она приносила только добровольную плату от студентов, и Риман находился на грани голодной смерти. Он испытал другие удары: смерть отца и сестры Клары, а также нервное расстройство, вызванное переутомлением.

Когда в 1855 году умер Гаусс и его преемником стал Дирихле, была предпринята неудачная попытка назначить Римана адъюнкт-профессором. Эта попытка окончилась неудачей, но Риману предоставили регулярное жалованье, и, когда в 1859 году умер Дирихле, Риман стал его преемником. В 1862 году он женился на Элизе Кох, подруге своих сестер, и их дочь, Ида, родилась в Пизе в 1863 году. В 1862 году Риман начал ездить в Италию в интересах своего здоровья, и он проводил там много времени в оставшиеся ему годы. Он любил Италию и ее художественные сокровища, а также получил теплый прием у итальянских математиков. Двое его друзей, Энрико Бетти и Эудженио Бельтрами, воодушевленные идеями Римана, сделали важные вклады в топологию и дифференциальную геометрию. Бельтрами увидел, как понятие искривленного пространства Римана могло быть использовано в качестве основы неевклидовой геометрии, революционное открытие, которое, возможно, не предвидел даже Риман (см. главу 18).

Пребывание Римана в Италии было слишком коротким. Он умер в Селаске на озере Маджори летом 1866 года, жена находилась рядом с ним. Дедекинд следующим образом описал его последние дни (не в своем обычном стиле, но, без сомнения, чутким к чувствам жены Римана):

За день до своей смерти он лежал под смоковницей, его переполняла радость при виде великолепного пейзажа, он работал над своей последней книгой, к сожалению, оставшейся незаконченной. Кончина пришла тихо, без напряжения или агонии смерти; казалось, будто бы он с интересом следил, как душа расставалась с его телом; его жене пришлось дать ему хлеб и вино, он попросил ее передать его любовь домашним, сказав: «Поцелуй наше дитя». Она читала вместе с ним молитву Господню, он не мог больше говорить; со словами «И остави нам долги наша» он благочестиво поднял глаза, она почувствовала, как его рука холодеет в ее руке, и еще через несколько вздохов, его чистое, благородное сердце перестало биться. Благородный дух, внушенный ему в доме его отца, оставался с ним всю его жизнь, и он оставался верен своему Богу, как и его отец, хотя и не в той же форме.

[Дедекинд (1876)]

Об Абеле говорили, что он оставил достаточно, чтобы занять математиков в течение 500 лет, и то же самое можно сказать о Римане. Сегодня, спустя свыше 130 лет после смерти Римана, основная нерешенная задача в чистой математике — так называемая гипотеза Римана, догадка, сделанная Риманом (1859) случайно в статье о распределении простых чисел. Риман рассматривал функцию Эйлера (обсужденную в разделе 10.7)

введя для нее дзета-обозначение, и распространил ее на комплексные значения Он заметил, что если то и добавил, что вполне вероятно, что все нули имеют действительную часть 1/2. Далее он не занимался этой проблемой, поскольку для его цели этого первоначального наблюдения было достаточно, ибо цель заключалась в выведении бесконечного ряда для количества простых чисел меньше положительного целого числа х. Позднее математики осознали, что гипотеза Римана управляет распределением простых чисел до необычайной степени, вот почему столь настойчиво ищут ее доказательство. Поскольку все усилия лучших математиков до сих пор терпели неудачу, возможно, успеха добьется лишь еще один Риман.