23.163. Доказуемость и истина

В предыдущем разделе подчеркивалось, что теорема Гёделя — это формулировка альтернатив: формальной системе либо не удается доказать истинное предложение, либо она доказывает ложное. Вторая теорема Гёделя индентифицирует предложение которое либо истинно и недоказуемо, либо ложно и доказуемо, но доказательство не говорит, какая альтернатива на самом деле выполняется для конкретной такой как или Principia Mathematica. Как оно могло бы, не нарушая саму теорему Гёделя? Если на самом деле противоречива, то не может быть формального доказательства, что истинно!

Тем не менее, теорема Гёделя говорит нам, что нам нечего терять, если добавить к системе Если X противоречива, то она уже бесполезна, и, добавив мы не окажемся в более затруднительном положении. И, если непротиворечива, мы действительно выигрываем, потому что новая математическая истина, не доказуемая на основе одной В этом случае, теорема Гёделя дает способ выйти за пределы любой заданной формальной системы. Знание, что находится вне сферы действия X (если X непротиворечива), имеет практическое значение для математиков, так как это означает, что момента, пытающегося доказать любое предложение, которое подразумевает нет. Если захочется использовать такое предложение, то его следует принять как новую аксиому.

Таким способом действительно возникают вопросы, представляющие математический интерес, наиболее просто в теории множеств, где непротиворечивость вызвана существованием «большого множества». Обычные аксиомы теории множеств (которые называются приблизительно говорят, что

1) N - множество.

2) Последующие множества следуют из определенных операций, самые важные из которых — мощность (принятие всех подмножеств множества) и замена (принятие множества значений функции, областью определения которой является множество).

Из-за этого, аксиомы можно моделировать любым множеством, которое содержит и замкнуто по мощности и замене. Такое множество должно быть очень большим, больше, чем любое множество, существование которого можно доказать на но, если оно существует, то

должна быть непротиворечивой, поскольку два противоречивых предложения не могут быть истинными о фактически существующем объекте. Поэтому существование множества, которое большое в указанном смысле, подразумевает

Если непротиворечива, то также непротиворечива, но требуется еще большее множество, чтобы удовлетворить расширенную систему аксиом. Существование этих больших множеств называется аксиомами о бесконечности. Поскольку они означают их нельзя доказать на В частности, нельзя доказать существование нетривиальной меры на всех подмножествах поскольку, как говорилось в разделе 23.4, это означает существование большого множества. Действительно, существование нетривиальной меры на аксиома о бесконечности, которая намного сильнее, чем ранее упомянутые аксиомы. Гёдель (1946) сделал интересное предположение, что любая истинная, но недоказуемая теорема является следствием какой-нибудь аксиомы о бесконечности.

Позднее, найдены некоторые свойства «большой величины» в теории чисел, которые подразумевают Первое из них было найдено Парисом и Харрингтоном (1977), с использованием модификации комбинаторной теоремы Рамсея (1929). Парис и Харрингтон нашли предложение а, которое говорит, что для каждого имеется то, так что множества величины то имеют некоторое комбинаторное свойство Они показали, что а следует из теоремы Рамсея на бесконечных множествах, но, что функция

растет быстрее, чем любая вычислимая функция, существование которой можно доказать на Поэтому а в некотором смысле обосновывает существование «большой» функции. Свойство таково, что можно принять решение, имеет ли его конечное множество или нет, следовательно, а означает (очень просто и определенно на что вычислима. Это сразу показывает, что а нельзя доказать на но Парис и Харрингтон фактически показали более сильный результат, что а означает

Теорема Гёделя показывает, что в чисто формальном взгляде на математику что-то упущено, и аксиомы о бесконечности показывают, что упущенные элементы могут быть математически интересны и важны. Несмотря на это, официальная точка зрения, видимо, по-прежнему заключается в том, что математика состоит из формального вывода

теорем из постоянных аксиом. Еще в 1941 году Пост протестовал против такого мнения:

Непрерывное удивление автора вызывает то, что десять лет спустя после замечательного достижения Гёделя современные взгляды на природу математики в связи с этим были затронуты только до момента видения необходимости многих формальных систем, вместо одной универсальной. Скорее, нам должно было показаться неизбежным, что эти разработки приведут к изменению всей аксиоматической тенденции конца девятнадцатого и начала двадцатого века, к возвращению к значению и истине.

[Пост (1941), с. 345]

Я считаю, что Пост говорил о следующем. До Гёделя цель математической логики заключалась в том, чтобы выделить всю математику во множество аксиом. Ожидалось, что, например, всю теорию чисел можно восстановить формальной дедукцией из то есть, забыв, что аксиомы имеют какое-нибудь значение. Гёдель показал, что это не так, и, в особенности, что предложение которое выражает непротиворечивость, нельзя восстановить подобным образом. Но именно зная в точности значение аксиом знаешь, что они непротиворечивы: противоречивые предложения нельзя выполнить в фактической структуре Поэтому именно способность видеть значение на дает нам возможность увидеть истину следовательно, выйти за пределы мощности формального доказательства.