17.114. Поверхности постоянной кривизны
Простейшая поверхность постоянной положительной кривизны — это сфера радиуса 
которая во всех точках имеет кривизну 
Другие поверхности кривизны 
можно получить изгибанием частей сферы; однако все такие поверхности имеют либо края, либо точки, которые не являются гладкими, как доказано Гильбертом (1901). Плоскость, как мы наблюдали, имеет нулевую кривизну, и все поверхности, полученные изгибанием плоскости или ее частей, тоже.
Остается исследовать, есть ли поверхности постоянной отрицательной кривизны. В обыкновенном пространстве такая поверхность имеет главные кривизны противоположного знака в каждой точке, которые придают ей внешний вид седла (рисунок 17.7). Число поверхностей постоянной отрицательной кривизны дано Миндингом (1839). Самая известная из них — псевдосфера, поверхность вращения, полученная вращением трактрисы вокруг ж-оси (рисунок 17.8). Эту поверхность исследовал еще в 1693 году Гюйгенс, который нашел площадь ее поверхности, которая конечна, а также объем и центр массы твердого тела, которое она окружает; он также конечен [Гюйгенс (1693а)].
Рисунок 17.7: Седло
Рисунок 17.8: Псевдосфера
Псевдосфера в некоторых отношениях — двойник цилиндра отрицательной кривизны, и, следовательно, можно поинтересоваться, есть ли поверхность постоянной отрицательной кривизны, которая больше похожа на плоскость. Гильберт (1901) доказал, что в обыкновенном пространстве гладкой неограниченной поверхности постоянной отрицательной кривизны нет, поэтому это исключает плоскообразные поверхности, а также объясняет «край» на псевдосфере. Можно, однако, получить «плоскость» отрицательной кривизны, введя в евклидову плоскость нестандартное понятие длины. Это открытие Бельтрами (1868а) обсуждается в следующей главе, наряду с другими следствиями отрицательной кривизны для неевклидовой геометрии.
Некоторое представление об этих геометрических следствиях можно также получить, если мы вернемся к вопросу, изометричны ли поверхности 
равной кривизны. Даже при постоянной кривизне, это все же неверно, поскольку плоскость не изометрична цилиндру. Истина есть, тем не менее, в том, что любую достаточно малую часть плоскости можно изометрично отобразить в любую часть цилиндра. Миндинг (1839) показал, что аналогичный результат верен для любых двух поверхностей 
одинаковой постоянной кривизны. Полагая 
этот результат можно интерпретировать как: в пределах 51 возможно движение твердого тела; тело внутри 51 можно переместить, без какого-либо сжатия или растяжения, в любую часть 
достаточно большую, чтобы его вместить. Последнее ограничение обязательно, например, для псевдосферы, поскольку она становится неопределенно узкой по мере того, как 
Возможность движения твердого тела была фундаментальной в евклидовой геометрии поверхности, и с открытием кривых поверхностей, которые поддерживали возможность движения твердого тела, евклидову геометрию можно было считать частным случаем, — случаем нулевой кривизны, — чего-то большего. Более широкое понятие геометрии на поверхности начинает принимать определенную форму, как только получаешь понятие подходящей «прямой линии». Это становится очевидным в следующей главе.
Упражнения
(см. скан)
