21.142. Алгебраические целые числа

Гауссовы целые числа — отличный пример алгебраических чисел, которые «ведут себя» как целые, но все же непонятно, каким должно быть общее понятие «целого». После периода исследований Дирихле,

Куммера, Эйзенштейна, Эрмита и Кронекера в 1840-х и 1850-х гг. Дедекиндом (1871) предложено следующее определение: алгебраическое целое число — это корень уравнения вида

Таким образом, определение алгебраического целого числа вытекает из определения алгебраического числа (раздел 21.1) посредством ограничения многочленов теми многочленами, которые имеют старший коэффициент 1, или нормированными многочленами, как их часто называют.

Одна из причин, которая навела на это определение, — результат, доказанный Эйзенштейном (1850): числа, удовлетворяющие тагам уравнениям, — замкнуты при Отсюда следует (поскольку алгебраические числа наследуют свойства из С), что алгебраические целые числа образуют коммутативное кольцо с единицей, как определено в разделе 20.3.

Еще одна причина ограничения нормированными многочленами заключается в том, что рациональные алгебраические целые числа — определенно обыкновенные целые числа. На это свойство нормированных многочленов указал Гаусс (1801), статья 11, и его довольно легко доказать. Предположим, что уравнение имеет рациональное решение, которое не является обыкновенным целым числом. Тогда мы можем допустить, что решение имеет вид где обыкновенные целые числа, и простое число, не делящее Подставив это значение вместо и перемножив на мы получаем

Однако, это невозможно, потому что делит правую часть, но не левую.

На практике трудно работать в кольце всех алгебраических целых, и мы предпочитаем работать с меньшими кольцами, такими как или Упражнения в предыдущем разделе показывают, что — идеальное окружение для доказательства Эйлера, что имеет только одно положительное решение в

Преимущество колец, таких как или состоит в том, что они имеют понятие нормы, которое позволяет нам определить понятие простого числа и показать, что каждый элемент кольца имеет разложение на простые множители. Однако однозначность разложения на

простые множители не гарантирована, и до известной степени нам повезло, что мы нашли ее в и

Более типичное кольцо алгебраических целых чисел имеет вид

В этом кольце и, следовательно, норма равна

Как и раньше, мы определяем, что простое число — это число нормы которая не является произведением чисел меньшей нормы, и отсюда следует, как в что каждый член разлагает на простые множители

Правда также, что, если делит а в то делит Следовательно, простое число если неделимо на любую меньшую норму то есть, на любое меньшее целое число вида Примеры простых чисел в следующие:

Следовательно, отсюда следует, что 6 имеет два разных разложения на простые множители в

В 1840-х гг. Куммер отметил примеры отсутствия однозначного разложения на простые множители, и он осознал, что это серьезная проблема. Он писал:

Весьма прискорбно, что это достоинство действительных чисел [то есть обыкновенных целых чисел] разлагаться на простые множители, всегда одинаковые для данного числа, не относится также к комплексным числам [то есть, алгебраическим целым числам]; если бы это было так, можно было бы завершить всю теорию, которая, по-прежнему, продвигается вперед с тагами трудностями. По этой причине, комплексные числа, которые мы рассматриваем, представляются несовершенными, и вполне можно задать вопрос, не следует ли

поискать другой тип, который бы сохранил аналогию с действительными числами относительно такого фундаментального свойства.

[Перевод Вейля (1975) из Куммера (1844)]

Куммер нашел «другой тип числа», который сохранял свойство однозначного разложения на простые множители, и он назвал их «идеальными числами». Сегодня они нам известны под названием «идеалы».

Упражнения

(см. скан)