23.158. Мера

Причиной исследования множеств разрывностей в теории ряда Фурье было открытие Фурье (1822), что эти ряды зависят от интегралов. Предполагая, что

Фурье вывел формулы

Таким образом, существование рядов зависит от существования интегралов для и и это, в свою очередь, зависит от того, насколько разрывна Известно (хотя не строго доказано), что всякая непрерывная функция имеет интеграл, поэтому следующий вопрос, как интеграл должен быть, или может быть, определен для разрывных функций. Первым точным ответом было понятие интеграла Римана (1854а), знакомое всем студентам, изучающим исчисление, и основанное на аппроксимации подынтегрального выражения ступенчатыми функциями. Любая функция с конечным количеством разрывностей имеет интеграл Римана, и, несомненно, некоторые функции с бесконечным числом разрывностей тоже, но не все. Классическая функция, для которой не существует интеграл Римана, — функция Дирихле (1829):

Со временем, чтобы охватить такие функции был введен более общий интеграл, интеграл Лебега, но лишь тогда, когда центр внимания переместился с задачи интегрирования на более фундаментальную проблему меры. Мера обобщает понятие длины (на оси площади (в плоскости и т.д. до вполне общих точечных множеств. Поскольку интеграл можно рассматривать как площадь под графом, его независимость от понятия меры ясна, хотя сразу не осознали, что сначала следует внести ясность в меру множеств на оси.

Необходимость внести ясность выросла из открытия Гарнака (1885), что любое счетное подмножество множества

можно охватить совокупностью интервалов произвольно малой общей длины (охватить интервалом длины интервалом длины интервалом длины с тем чтобы общая длина использованных интервалов равнялась Казалось, что это показывает, что счетные множества были «малыми» (нулевой меры, как мы сейчас говорим), но математики неохотно говорили это о плотных счетных множествах, типа рациональных чисел. Первой реакцией было определение меры аналогично интегралу Римана, используя конечные объединения интервалов до приближенных подмножеств R [Жордан (1892)]. По этому определению, «разреженные» счетные множества типа действительно имеют нулевую меру, но плотные множества, как множества рациональных чисел, были вообще не измеримы.

Первым, кто увидел в результате Гарнака намек на то, что счетные объединения интервалов следует использовать для измерения подмножеств был Борель (1898). Он определил, что мера любого счетного объединения интервалов составляет его общую длину, и он распространил измеримость на все более и более сложные множества образованием дополнения и сложных несвязных объединений. То есть, если множество содержавшееся в интервале I, имеет меру то

и если несвязное объединение множеств с мерами то

Множества, которые можно образовать из интервалов образованием дополнения и счетных объединений, сейчас называются борелевскими множествами. Идею Бореля развил до логического завершения Лебег (1902), который присвоил нулевую меру любому подмножеству борелевского множества нулевой меры. Поскольку не все такие множества борелевские, это распространило измеримость на более широкий класс множеств: те, которые отличаются от борелевских множествами нулевой меры. Являются ли измеримые множества всеми подмножествами интересный вопрос, к которому мы вскоре вернемся.

Отличительным свойством меры Бореля-Лебега является счетная аддитивность: если несвязанные измеримые множества, то

Лебег показал, что это дает понятие интеграла, который лучше ведет себя относительно пределов, чем интеграл Римана. Например, имеется свойство монотонной сходимости: если возрастающая последовательность положительных интегрируемых функций, и по мере того, как то для интеграла Лебега, тогда как это не полностью верно для интеграла Римана (см. упражнение 23.3.1).

Еще одной мотивацией счетной аддитивности, на которую указал Борель, была теория вероятностей. Если «событие» формализуется как множество точек («благоприятных исходов»), то вероятность можно определить как меру Некоторые вполне естественные события оказываются счетными объединениями, следовательно, необходимо, чтобы мера вероятности была счетно аддитивна. В неформальной теории вероятностей счетная аддитивность допускалась еще в 1690 году, когда Якоб Бернулли ответил на следующий вопрос, который он поставил в 1685 году:

А и В играют в кости, тот, кто первый бросает очко, объявляется победителем. А бросает один раз, тогда В бросает также один раз. Затем А бросает дважды, и В делает то же самое, и т. д. пока один не выиграет. Каково отношение их шансов на успех?

Чтобы решить эту задачу, Якоб Бернулли (1690) разложил событие выигрыша для А (или В) на подсобытия выигрыша при будучи первым, вторым, третьим..., преобразовал и суммировал вероятности этих счетно многих подсобытий. Формальная теория вероятностей, которая была создана Колмогоровым (1933), основывает все такие аргументы на теории счетно аддитивных мер.

Можно сказать, что теория множеств проложила путь теории мер, показав несчетность давая таким образом возможность рассматривать счетные подмножества как «малые». С другой стороны, сама теория мер показывает несчетность (еще раз взгляните на результат Гарнака), и, действительно, оценка «малости» счетных множеств в теории мер значительно повлияла на позднейшее развитие теории множеств.

Аксиомы «теоретически желаемой меры», такие как измеримость всех подмножеств оказались в противоречии с аксиомами «теоретически желаемого множества», такими как гипотеза о континууме, и усилия разрешить этот конфликт выявили более фундаментальные

вопросы о множествах. Эти вопросы не сводятся к определенным альтернативам — например, к способу, которым геометрические вопросы сводятся к альтернативным аксиомам о параллельных — но они, видимо, тяготеют к так называемому выбору и аксиомам о больших кардинальных числах, обсуждаемым в следующем разделе.

Упражнения

(см. скан)