18.120. Геометрия Бойяи и Лобачевского
Самые важные вклады в гиперболическую геометрию между Гауссом и Бельтрами сделали Лобачевский и Бойяи, которые опубликовали независимые открытия этого предмета: Лобачевский (1829) и Янош
Бойяи (1832b). Благодаря своей храбрости в отстаивании нетрадиционной геометрии, Бойяи и Лобачевский завоевали восхищение многих историков. Тем не менее, историческое значение их работы спорно. Бблыная часть их результатов уже была известна Гауссу и его кругу, и их можно было найти, по крайней мере, в неопределенной форме, в существующих публикациях и личных контактах. Ламберт (1766) и Тауринус (1826) были в печати, а отец Бойяи, 
Бойяи, всю жизнь дружил с Гауссом, как и учитель Лобачевского, Бартельс. В любом случае, их работа, несмотря на то, что была более систематизирована, чем предыдущие попытки, и выражена намного убедительнее, на первых порах привлекла мало внимания. Мы видели, как возможность использования дифференциальной геометрии ради обоснования гиперболической геометрии упускали из виду до 1868 года. Вплоть до того времени, казалось не было причины воспринимать серьезно гиперболическую геометрию.
Ретроспективно, конечно, можно считать, что теоремы Бойяи и Лобачевского весьма тонко объединили фрагментарные результаты их предшественников. Они охватывают основные зависимости между сторонами и углами треугольников (гиперболическая тригонометрия), измерение площадей многоугольников при помощи углового дефекта и формул окружности и площади кругов. Лобачевский (1836) открыл новый предмет, найдя объемы многогранников, которые оказались далеки от элементарных, включая функцию 
И Бойяи, и Лобачевский рассматривали трехмерное пространство, удовлетворяющее Аксиоме 
и широко использовали поверхность, свойственную этому пространству, орисферу. Орисфера — это «сфера с центром в бесконечности», и это не гиперболическая плоскость. Вахтер, студент Гаусса, в письме 1816 года заметил [опубликовано Штекелем (1901)], что геометрия орисферы, фактически, евклидова. Этот удивительный результат был вновь открыт Бойяи и Лобачевским, и они предчувствовали, что он подчинит евклидову геометрию гиперболической. В разделе 18.5 мы увидим, как эта точка зрения была доказана в работе Бельтрами.
