9.60. Исчисление Лейбница

Эпохальные работы Ньютона [Ньютон (1669, 1671)] были предложены Королевскому обществу и Кембридж Юниверсити Пресс, но, невероятно, как сейчас представляется, в публикации было отказано. Поэтому случилось так, что первой опубликованной статьей по исчислению была работа Лейбница (1684), а не Ньютона. Это привело к тому, что первоначально Лейбниц удостоился чести за открытие исчисления, и позже к горькому спору с Ньютоном и его последователями по вопросу о приоритете открытия.

Нет сомнения, что Лейбниц открыл исчисление независимо, что у него была лучшая система обозначений, и что его последователи больше внесли в распространение исчисления, чем последователи Ньютона. Работе Лейбница не хватало глубины и виртуозности Ньютона, но тогда Лейбниц был библиотекарем, философом и дипломатом, уделяя математике лишь часть своего времени. Его Nova methodus (Новый метод) [Лейбниц (1684)] была относительно слабой статьей, хотя она действительно закладывает несколько важных основ — правила суммы, произведения и частного для дифференцирования, и вводит обозначение которое мы сейчас используем. Однако для Лейбница было не просто символом, как для нас, но буквально частным бесконечно малых которые он рассматривал как разности (отсюда символ между соседними значениями у их, соответственно.

Он также ввел знак интеграла в De geometrica (О геометрии) [Лейбниц (1686)] и доказал основную теорему исчисления: интегрирование — это обратный процесс дифференцирования. Этот результат был известен Ньютону и даже, в геометрической форме, учителю Ньютона, Барроу, но он стал прозрачнее в формализме Лейбница. Для Лейбница означал «сумму» и был буквально суммой членов представляющей бесконечно малые площади высоты и ширины Разностный оператор дает последний член в сумме, и деление на бесконечно малое дает Поэтому вот!

основная теорема исчисления.

Сила Лейбница лежала скорее в определении важных понятий, чем в их техническом развитии. Он ввел слово «функция», и именно он первый начал мыслить в понятиях функций. Он провел различие между алгебраическими и трансцендентными функциями и, вопреки

Ньютону, предпочитал выражения «конечного вида» бесконечным рядам. Поэтому оценка для Лейбница была задачей отыскания известной функции, производная которой тогда как для Ньютона — задачей разложения в ряд, после чего интегрирование было тривиальным.

Поиск конечных видов был погоней за недостижимым, но, как многие усилия решить трудно разрешимые задачи, он привел к стоящим результатам в других направлениях. Попытки интегрировать рациональные функции поставили задачу разложения на множители многочленов и привели, в конечном счете, к основной теореме алгебры (см. главу 14). Попытки интегрировать привели к теории эллиптических функций (глава 12). Как указывалось в разделе 9.1, задача принятия решения, какие алгебраические функции могут быть интегрированы в конечном виде, была решена лишь недавно, хотя не в форме, подходящей для учебников по исчислению, которые продолжают оставаться забывчивыми к большинству разработок со времен Лейбница. (Изменилось лишь одно: теперь гораздо легче опубликовать книгу по исчислению, чем во времена Ньютона!)

Упражнения

(см. скан)