20.137. Октонионы
Гамильтон и его друг Джон Грейвс долго обсуждали проблему определения умножения для троек и других 
-кратных действительных чисел. Открытие кватернионов явно катализировало собственные размышления Грейвса об 
-кратных. потому что к декабрю 1843 года он смог сообщить Гамильтону о собственном интересном открытии: системе восьмикратных с мультипликативным абсолютным значением, которые он назвал октавами. Гамильтон поздравил Грейвса с открытием, но указал, что октавы были не столь приятны, как кватерионы, потому что их умножение не только было некоммутативным, но также неассоциативным. Он согласился устроить публикацию открытия Грейвса, но ему не удалось довести ее до конца, в результате октавы были заново открыты Кэли (1845), прежде чем общеизвестным стал приоритет Грейвса. Как следствие, их часто называют числами Кэли или числами Кэли-Грейвса. Сегодня их обычно называют октонионами, а их множество называется О.
Октонионы являются восьмикратными действительных чисел с обычным сложением векторов и скалярным умножением. Стандартные базисные векторы 
называются 
соответственно, поэтому любой октонион можно записать в виде
Они удовлетворяют аксиоме о дистрибутивности, поэтому значение любого произведения октиниона определяется произведениями «мнимых единиц» 
Квадрат каждой мнимой единицы составляет — 1, и на рисунке 20.1 дается описание всех произведений различных базисных векторов. Произведение любых двух базисных векторов — третий вектор в «линии», их содержащей, со знаком плюс или минус, определенный стрелкой и положением двух векторов в произведении. «Линии» включают круг, проходящий через 
и, фактически, предполагается, что все «линии» похожи на него, вам следует представить прибавление третьего отрезка к каждой из них, соединяющего две конечные точки.
Рисунок 20.1: Произведения базисных векторов октониона
Гораздо более простое описание умножения октинионов дано Диксоном (1914), с. 15. Описание Диксона является обобщением определения умножения пар Гамильтона, оно фактически показывает, что одно и то же построение создает С из 
из 
из 
Каждая система
состоит из упорядоченных пар 
из предыдущей системы, и пары перемножаются по правилу
где 
обозначает операцию сопряжения, которая изменяет знак всех мнимых единиц. (Это сопряжение не влияет на действительное число.) В частности, октонионы можно рассматривать как пары 
кватернионов a и b. В этом случае важно отметить точный порядок произведений в определении, потому что произведение кватернионов обычно не коммутативно.
Октонион 
во имеет квадрат абсолютного значения, равный 
поэтому мультипликативность абсолютного значения дает тождество, выражающее произведение двух сумм восьми квадратов как суммы восьми квадратов. Сделав это открытие, Грейвс поискал литературу о таких тождествах и обнаружил тождество четырех квадратов Эйлера 1748 года (хотя, на самом деле, более позднюю его запись), а также свое собственное тождество в статье Дегена (1822). Тагам образом, октонионы, как комплексные числа и кватернионы, дали первое указание на свое существование в теории сумм квадратов.
Упражнения
(см. скан)
