21.147. Биографические заметки: Дедекинд, Гильберт и Нётер

Рихард Дедекинд (рисунок 21.3) родился в 1831 году в Брауншвейге, родном городе Гаусса, в академической семье. Его отец, Юлиус, был

профессором права в Коллегиум Каролинум, а его мать, Каролина Эмпериус, была дочерью другого тамошнего профессора. Рихард был самым младшим из четырех детей в связанной тесными узами семье. Они прожили в Брауншвейге бблыную часть жизни, и Рихард жил со своей сестрой Юлией (оба они не обзавелись собственной семьей) до 1914 года. Звучит безрадостно, но эта, по-видимому, бедная событиями жизнь была фоном революционной активности в математике, по-своему такой же дерзкой, как работа Галуа.

Рисунок 21.3: Рихард Дедекинд

Дедекинд заинтересовался математикой в средней школе, когда пришел к выводу, что химия и физика были недостаточно логичными. Он посещал Коллегиум Каролинум, научное учебное заведение, которое также посещал Гаусс, прежде чем в 1850 году поступить в Геттингенский университет. Здесь он подружился с Риманом и быстро добился научных успехов, завершив в 1852 году диссертацию под руководством Гаусса. После смерти Гаусса в 1855 году, на кафедру Гаусса назначили Дирихле, и он стал третьим, кто оказал большое влияние на ьарьеру Дедекинда. После короткого пребывания в Политехникуме в Цюрихе (ныне известном как ЕТН), в должности, которую он выиграл в соревновании с Риманом, Дедекинд вернулся в Политехникум в Брауншвейге, где он оставался всю свою жизнь. Это место не было престижным, но домашний уют дал ему возможность сконцентрироваться на математике.

Дедекинд был последним студентом Гаусса, и теория чисел Гаусса явилась вдохновляющим источником многого в работе Дедекинда, как это было у многих великих немецких математиков девятнадцатого века. Когда начал Дедекинд. новое поколение, Эйзенштейн, Дирихле и Кронекер, наконец, начало понимать идеи Гаусса, и делать дальнейшие успехи. Дирихле, в частности, сделал Гаусса более доступным при помощи своих элегантных и хорошо написанных Vorlesungen uber Zahlentheorie [Лекций о теории чисел, Дирихле (1863)], в которых многое упростил в трудной теории квадратичных форм Гаусса и добавил собственные ошеломляющие новые результаты и доказательства. Кульминация лекций Дирихле — формула порядка класса, дающая однородное описание числа неэквивалентных квадратичных форм с заданным дискриминантом. Лекции были изданы Дедекиндом и впервые опубликованы в 1863 году, четыре года спустя после смерти Дирихле. Дедекинд очень серьезно отнесся к проекту и поистине сделал его делом своей жизни, выпустив следующие издания в 1871, 1879 и 1894 годах, каждый раз добавляя дополнительный материал, пока дополнения

не превзошли саму книгу Дирихле. Теория идеалов впервые появилась в издании 1871 года, и была расширена и углублена в 1879 и 1894 годах, в конечном итоге, включив также многое из теории Галуа.

Однако Дедекинд был разочарован низким энтузиазмом, который проявили другие математики относительно идеалов, и в 1877 году он попробовал более доходчивый подход. Дедекинд (1877) почти идеален для современного читателя, — ясный, сжатый и хорошо обоснованный, — но, видимо, по-прежнему был слишком абстрактен для своих современников. Теория идеалов действительно не упала на благодатную почву, пока ей не дал новое изложение Гильберт (1897), как мы увидим ниже.

Тем временем, Дедекинд сделал несколько других важных вкладов в математику, которые медленно пускали корни:

• теория действительных чисел как «дедекиндовы сечения»,

• теория римановых поверхностей как полей алгебраических функций,

• характеризация натуральных чисел как «индуктивного множества».

Что эти вклады имели общего, и что сделало их трудными для понимания современников, — так это идея трактовки бесконечных множеств как математических объектов. Дедекинд фактически начал делать это в 1857 году, когда он рассматривал конгруэнтность по модулю как арифметику классов вычетов

которые складываются и перемножаются согласно правилам

[Мы упоминали умножение классов вычетов в разделе 19.1.] Идея сложения или умножения множеств при помощи сложения или умножения представителей непосредственно переносит к дедекиндовым сечениям, и, с некоторым изменением, к идеалам и римановым поверхностям. Дедекинд надеялся, что этот рог изобилия приложений убедит

его коллег в ценности идеи о том, что «множества являются математическими объектами», но эту идею было тяжело продать. Сначала к нему присоединился лишь Кантор, который принял теорию бесконечных множеств с таким же энтузиазмом, с таким Дедекинд принял приложения (см. главу 23).

Дедекинд вынужден был ждать десятилетия, прежде чем его идеи вошли в основное русло (и в некоторых случаях после того, как их заново открыли другие, например, его теория натуральных чисел стала «аксиомами Пеано»), но, к счастью, он прожил достаточно долго. Он умер в 1916 году в возрасте 84 лет.

Давид Гильберт (рисунок 21.4) родился в 1862 году в Кенигсберге и умер в Геттингене в 1943 году. Его отец, Отто, был судьей, и, быть может, Давид, унаследовал свои математические способности от матери, о которой мы знаем очень мало, за исключением того, что ее девичья фамилия — Эрдман. Кенигсберг был удаленной восточной частью Пруссии (ныне Калинград, небольшой анклав России), но с сильной математической традицией, восходящей к Якоби. Когда Гильберт посещал здешний университет в 1880-х он подружился с Германом Минковски, считавшимся в детстве математическим вундеркиндом, двумя годами младше его, и Адольфом Гурвицем, который был на три года его старше и профессором в Кенигсберге с 1884 года. Все трое привыкли обсуждать математику во время долгих прогулок, и Гильберт, видимо, получил основное математическое образование таким образом. Позже он сделал «математические прогулки» важной частью образования своих студентов.

Рисунок 21.4: Давид Гильберт

Первый исследовательский интерес Гильберта лежал в теории инвариантов, алгебраической теме, к которой относились тогда с большим почтением. Элементарный пример инварианта — дискриминант квадратичной формы, который, как заметил Лагранж (1773b), был инвариантом, когда форма преобразовывалась в эквивалентную форму (раздел 21.6). Ко времени Гильберта, теория инвариантов стала джунглями, где успех зависел, главным образом, от способности продраться через труднопреодолимые вычисления. «Король теории инвариантов», Пауль Гордан из Эрлангена, был печально известен статьями, состоящими почти сплошь из уравнений; действительно, рассказывают, что у него были ассистенты, чтобы вписывать туда слова, где необходимо. В 1888 году Гильберт вымел все это прочь, решив главную задачу теории инвариантов, в простой и чисто концептуальной манере: основная

теорема Гильберта показала существование инвариантов выше квадратичного уровня, без необходимости их вычислять!

Гордан сначала не поверил и воскликнул: «Это не математика, это теология!», но, со временем, идея Гильберта была развита дальше, до вычисления инвариантов, и Гордан вынужден был признать, что, в конце концов, это математика. Гильберт, со своей стороны, пошел дальше завоевывать новые миры. Действительно, это стало его образом действия в течение почти всей карьеры: исследовать тщательно тему в течение нескольких лет, перевернуть ее вверх дном, затем делать нечто совсем иное.

Триумф Гильберта в теории инвариантов обеспечил ему положение в Кенигсберге, и в 1892 году он женился на Кэти Иерош, очень способной женщине, которая работала секретарем и ассистентом во многих его работах. В частности, она собрала библиографию к его огромному Zahlbericht («Докладу о числах») 1897 года, труду, где алгебраическая теория чисел достигла совершеннолетия. В 1893 году Немецкий союз математиков доверил Гильберту написать отчет об алгебраической теории чисел, и отчет превратился в 300-страничный труд [Гильберт (1897)], где вспоминались квадратичные формы и последняя теорема Ферма и предвкушалась теория поля классов, важная тема двадцатого века.

Математическая общественность, которая была не готова, когда несколькими годами ранее алгебраическую теорию чисел представил Дедекинд, теперь увидела суть, и Клейн пригласил Гильберта в Геттинген, где он занимал кафедру математики с 1895 года и до конца жизни.

После Zahlbericht Гильберт обратился к основам геометрии, которых мы касались в разделах 1.6, 19.5 и 20.7. Снова он засчитал себе несколько триумфов, заполнив, наконец, пробелы у Евклида, открыв алгебраическое значение теорем Паппа и Дезарга, но также оставив несколько незавершенных дел. Гильберт осознал, что моделирование евклидовой геометрии с помощью координат действительных чисел не было, в сущности, доказательством, что геометрия непротиворечива; по-прежнему необходимо было доказать, что теория действительных чисел непротиворечива. Гильберт нашел это далеко не очевидным и поставил эту задачу на второе место в своем списке математических задач, представленном в Париже в 1900 году. Затем он оставил предмет в пользу математической физики.

Однако доказательства непротиворечивости для теории действительных чисел никто не нашел, и к 1920-м гг. Гильберт почувствовал

себя обязанным вернуться к предмету. Программа Гильберта, она известна под этим названием, обратилась сначала к формальному языку математики, в котором само понятие доказательства было математически определимо, по точным правилам манипулирования с формулами. Этот этап программы был действительно выполним и, по существу, осуществлен Уайтсхедом и Расселом в Principia Mathematica 1910 года. Трудная часть, однако, заключалась в доказательстве того, что правила доказательства не могли привести к противоречию. Именно здесь застопорилась программа Гильберта, и в 1931 году Гёдель показал, что ее невозможно завершить никогда. Его известные теоремы о неполноте (глава 23) показали, что такого доказательства непротиворечивости не существует, и что расширение формального языка новыми аксиомами только ставит доказательство непротиворечивости далее вне пределов досягаемости.

К своей чести, Гильберт одним из первых придал гласности труд Гёделя. Первые полные доказательства теорем Гёделя содержатся в книге Гильберта и Бернайса (1938). Но бедой Гильберта было закончить ьарьеру не только провалом одной своей математической мечты, но также разрушением всего математического сообщества. Упадок Геттингена началось в 1933 году, когда в Германии пришли к власти нацисты и начали изгонять профессоров-евреев. Через несколько лет большинство математических талантов бежали из Германии, оставив престарелого и слабого здоровьем Гильберта практически одного. Он умер 14 февраля 1943 года.

Одним из математиков-евреев, вынужденном в 1933 году оставить Геттинген, была Эмми Нётер (рисунок 21.5), которая во многих отношениях была естественным преемником Дедекинда и Гильберта. Эмми Нётер родилась в 1882 году в Эрлангене и умерла в 1935 году в Брин-Мор, Пенсильвания. Она была старшей из четырех детей математика Макса Нётера и Иды Кауфман. Ребенком она любила музыку, танцы и языки и намеревалась обучать языкам, готовясь стать в 1900 году учителем английского и французского языков.

Рисунок 21.5: Эмми Нётер

В то время в Германии женщинам разрешали обучаться в университетах только неофициально, и очень немногие это делали, поскольку также требовалось разрешение лектора. Однако нескольким учителям, с целью «дальнейшего образования», разрешили его посещать, и в 1900 году Эмми Нётер стала одной из них, изучая математику в Эрлангенском университете. Здесь она встретила «короля инвариантов» Пауля Гордана и в 1907 году под его руководством написала диссертацию. Она

была, естественно, по теории инвариантов, и Эмми позже отозвалась о ней как о «чепухе», но это не было полной потерей времени. Физики сегодня восхищаются одним из ее ранних результатов, об инвариантах механических систем.

В 1910 году Гордан вышел в отставку и произошло перераспределение должностей, приведшее в 1911 году к назначению Эрнста Фишера. Сегодня Фишер не очень хорошо известен, но, видимо, в процессе работы с ним внезапно расцвел алгебраический талант Нётер. Она оставила вычислительный подход Гордана и быстро овладела концептуальным подходом Дедекинда и Гильберта, до такой степени, что в 1915 году Гильберт пригласил ее в Геттинген. Получение должности было еще одной трудностью; говорят, что Гильберт высмеял исключение женщин-профессоров в Геттингене, сказав: «это университет, а не купальное заведение», но, со временем, в 1922 году она получила неофициальную кафедру.

В 1920-х гг. Нётер была на пике своих возможностей, и она нашла студентов, заслуживающих ее таланта. Среди них были Эмиль Артин, который решил пару задач Гильберта, и В. Л. ван дер Варден, который донес идеи Нётер до мира в своей Современной алгебре 1930 года. Сама Нётер обычно скромно утверждала, что «es steht schon bei Dedekind» («это уже есть у Дедекинда»), и поощряла своих студентов убедиться самим, читая все дополнения Дедекинда. Тагам образом, несмотря на чрезвычайно абстрактный характер алгебры Нётер, ее студенты вынуждены были осознавать ее непосредственное происхождение из теории чисел Гаусса и Дирихле. В Алгебре ван дер Вардена эта связь, к сожалению, нарушена, и многие из следующего поколения студентов выросли, не осознавая ее. В последние годы происходит приятный перелом этой тенденции; в частности, в Алгебре сына Эмиля Артина, Майкла, теория чисел используется для иллюстрации теории идеалов [Артин (1991)].