13.86. Небесная механика

Астрономия была мощным стимулом в математике с древнейших времен. Эпициклическая теория Аполлония и Птолемея ввела интересное семейство алгебраических и трансцендентных кривых, как мы видели в разделе 2.5, а сама теория господствовала в западной астрономии до семнадцатого века. Даже Коперник (1472-1543), когда он в De revolutionibus orbium coelestium [Коперник (1543)] опроверг геоцентрическую систему Птолемея гелиоцентрической системой, не склонен был отказаться от эпициклов. Принятие Солнца в качестве центра системы, упрощает орбиты планет, но не делает их круговыми, поэтому Коперник, принимая птолемееву философию, что орбиты должны порождаться круговыми движениями, моделировал их с помощью эпициклов. По существу, он использовал больше эпициклов, чем Птолемей.

Более важным шагом вперед, с математической точки зрения, было введение Кеплером эллиптических орбит в Astronomia nova [Кеплер (1609)]. Когда Ньютон объяснил эти орбиты как следствие гравитационного закона обратных квадратов в Principia [Ньютон (1687), с. 56], он показал, что имелся более глубокий уровень объяснения, бесконечно малый уровень, где можно было добиться простоты, даже, когда она невозможна на глобальном уровне. Сила, действующая на данное тело это просто векторная сумма сил вследствие влияния других тел в системе, определяемая их массами и расстояниями от по закону обратных квадратов, и, по второму закону Ньютона, это определяет ускорение Ускорения определяются похожим образом, следовательно, поведение системы полностью определяется законом обратных квадратов, как только заданы начальные положения и скорости. Закон обратных квадратов — это закон бесконечно малых, в том смысле, он описывает ограничивающее поведение тела, его ускорение, а не его глобальное поведение, такое как форма или период его орбиты.

Как мы сейчас знаем, глобальное поведение динамической системы редко можно описать в явном виде, поэтому Ньютон нашел единственный жизнеспособный базис для динамики, направляя внимание к

бесконечно малому поведению. К сожалению, он неудачно передал это понимание, выражая его в геометрических терминах, будучи убежден, что исчисление, которое он использовал для открытия своих результатов, неуместно в серьезной публикации. К восемнадцатому веку это убеждение было рассеяно Лейбницем и его последователями, и окончательная формулировка динамики в понятиях исчисления дана Эйлером и Лагранжем. Они признали, что бесконечно малое поведение динамической системы символически описывалось системой дифференциальных уравнений, и, что глобальное поведение, в принципе, выводимо из этих уравнений интегрированием.

Однако остался вопрос, действительно ли закон обратный квадратов объяснял наблюдаемое глобальное поведение Солнечной системы. В системе только с двумя телами Ньютон показал [Ньютон (1687), с. 166], что каждое описывает коническое сечение относительно другого, в нормальных случаях, эллипс, как утверждал Кеплер. В системе трех тел, таких как Земля-Луна-Солнце, простое глобальное описание было невозможно, и Ньютон смог получить только качественные результаты при помощи аппроксимаций. При наличии в Солнечной системе множества тел возможно было крайне сложное поведение, и в течение 100 лет математики не могли объяснить некоторые из реально наблюдаемых явлений.

Известный пример — так называемое вековое изменение Юпитера и Сатурна, которое обнаружил Галлей в 1695 году из наблюдений тогда доступных. В течение нескольких столетий Юпитер ускорялся (двигаясь по спирали по направлению к Солнцу), а Сатурн замедлялся (двигаясь по спирали вовне). Задача заключалась в объяснении этого поведения и определении, продолжится ли оно, с возможным разрушением Юпитера и исчезновением Сатурна. Эйлер и Лагранж безуспешно работали над задачей; затем, в столетнюю годовщину Principia Лаплас (1787) добился успеха в объяснении явления. Он показал, что вековое изменение фактически было периодическим. Юпитер и Сатурн возвращались в свои первоначальные положения каждые 929 лет. Лаплас считал это подтверждением не только ньютоновой теории, но также устойчивости Солнечной системы, хотя, по-видимому, последнее по-прежнему открытый вопрос.

Лаплас ввел термин «небесная механика» и не оставил сомнений, что с его монументальной Mecanique celeste, трудом из пяти томов, который появился между 1799 и 1825 годами, пришла теория. Звездный час теории в астрономии наступил в 1846 году, с открытием Нептуна, положение которого вычислили Адаме и Леверьер на основе

наблюдаемых возмущений орбиты Урана. Трудный вопрос устойчивости был вновь поднят в трех томах Les methodes nouvelles de la mecanique celeste Пуанкаре (1892, 1893, 1899). В этом труде Пуанкаре направил внимание на асимптотическое поведение, до некоторой степени дополняя точку зрения Ньютона о бесконечно малых точкой зрения по отношению к бесконечности, и его методы оказали сильное влияние на динамику двадцатого века.