14.92. Квадратные уравнения

Обычный способ ввести комплексные числа в курсе математики — указать, что они необходимы для решения квадратных уравнений, тагах как уравнение Однако, этого не произошло, когда впервые появились квадратные уравнения, поскольку в то время не было необходимости всем квадратным уравнениям иметь решения. Многие квадратные уравнения подразумеваются в греческой геометрии, как, наверное, ожидается, когда исследуются круги, параболы и тому подобное, но не требуется, чтобы всякая геометрическая задача имела решение. Если задаешь, вопрос, пересекаются ли, скажем, конкретный круг и линия, тогда ответ может быть «да» или «нет». Если да, квадратное уравнение для пересечения имеет решение; если нет, оно решения не имеет. «Мнимое решение» в этом контексте названия не имеет.

Даже, когда квадратные уравнения появились в алгебраической форме у Диофанта и арабских математиков, на первых порах не было оснований признавать комплексные решения. По-прежнему хотели лишь знать, имелись ли действительные решения, и если нет, ответ был просто, — нет решения. Это был откровенно подходящий ответ, когда квадратные уравнения решаются геометрически, делая полным квадрат (раздел 6.3), как по-прежнему делали до эпохи Кардано. Квадрата отрицательной площади в геометрии не существовало. История могла бы быть иной, если бы математики больше пользовались символами и отважились рассмотреть символ как самостоятельный объект, но этого не произошло, пока квадратные уравнения не догнали кубические; на этом этапе комплексные числа стали неизбежны, как мы сейчас увидим.