15.101. Точки ветвления

Ключ к топологической форме комплексной кривой р(х,у) лежит в ее точках ветвления, точках а, где разложение у Ньютона-Пюизе начинается с дробной степени (см. раздел 10.5). Природа точек ветвления впервые описана Риманом (1851) как часть новой революционной геометрической теории комплексных функций. Идея Римана, одна из самых проливающих свет в истории математики, должна была представить зависимость между комплексной переменной х и комплексной переменной у покрытием плоскости (или сферы), представляющей переменную х, поверхностью, представляющей переменную у, при этом точка или точки поверхности у над заданной точкой являются значениями у, которые удовлетворяют

Если уравнение имеет в у степень то вообще будет различных значений у для заданной а, следовательно, «листов» поверхности у, лежащих над -плоскостью в окрестности При

конечном множестве исключительных значений листы сливаются благодаря совпадению корней, и теория Ньютона Пюизе говорит, что в такой точке у ведет себя как дробная степень в 0. Наша главная задача, поэтому, понять поведение римановой поверхности для в окрестности 0.

Идею можно достаточно хорошо усвоить, наблюдая частный случай Если мы рассмотрим единичный диск в у-плоскости и попытаемся деформировать его для того, чтобы точки лежали выше точки х в единичном диске х-плоскости, то в результате получим нечто, похожее на рисунок 15.6.

Рисунок 15.6: Точка ветвления для квадратного корня Углы в на границах диска — это аргументы соответствующих точек Если

то

дающие показанные значения. На рисунке 15.7 видно более графическое изображения, взятое из раннего учебника по теории Римана [Нейман (1865), форзац].

Рисунок 15.7: Картинка точки ветвления Неймана Следует отметить, что ужасный внешний вид точки ветвления, в частности, линии самопересечения, — это следствие представления зависимости в количестве измерений меньше четырех, которых она на самом деле требует. Если мы подобным же образом попытаемся представить зависимость между действительными положа у-ось вдоль х-оси, так чтобы находились на вершине то в результате получим ужасную свернутую «точку ветвления» в (рисунок 15.8). Это следствие попытки представить зависимость в одном измерении. В действительности, как показывает вторая часть рисунка, если ее рассматривать как кривую в плоскости, то зависимость такая же гладкая в 0, как в любом другом месте. (Заметьте, между прочим, что свернутая линия на рисунке 15.8, действительная у-ось, соответствует линии самопересечения на рисунке 15.7.) Рисунок 15.8: Одномерная точка ветвления