22.154. Фундаментальная группа

Еще один способ исследовать значение универсального покрытия использовать его, чтобы построить пути на поверхности По мере того как точка движется на каждый прообраз точки движется на аналогично. Единственная разница заключается в том, что пересекает край фундаментального многоугольника на пересекает от одного фундаментального многоугольника до другого на Поэтому не обязательно вернется к своей начальной точке, даже когда возвращается. Действительно, мы можем видеть, что смещение

некоторым образом измеряет степень, до которой вьется вокруг поверхности На рисунке 22.15 показан пример. Когда делает виток вокруг тора один раз, более или менее в направлении блуждает из одного конца в другой отрезьса а на

Рисунок 22.15: Построение поверхности покрытия

Мы говорим, что замкнутые пути с исходной точкой О на «вьются одинаковым образом» или гомотопны, если можно деформировать в с неподвижной О и не оставляя поверхности. Теперь, если путь точки деформируется в с неподвижной О, то путь точки деформируется в с теми же исходной и конечной точками, как Следовательно, каждый гомотопический класс соответствует просто смещению универсального покрытия которое движет к Разные прообразы будут, конечно, начинать в разных прообразах точки О, но единственное смещение движет их все к конечным положениям Более того, смещение движет всю мозаику на себя: это движение твердого тела мозаики.

Поэтому исходя из топологического понятия гомотопических замкнутых путей, мы еще раз пришли к обыкновенной геометрии. Мы также подошли к группе, которая называется фундаментальной группой Геометрически, это группа движений которые отображают мозаику на себя (которая включает отображение каждого края на одинаково обозначенный край). Топологически, это группа гомотопических классов замкнутых путей, с общей исходной точкой О на Произведение гомотопических классов определяется последовательным прохождением репрезентативных путей.

Фундаментальная группа впервые была определена топологически Пуанкаре (1895). Пуанкаре определил ее для гораздо более общих фигур, универсальные покрытия которых не столь очевидны, поэтому интерпретация как группы движений покрытия до последнего времени не возникала. Как мы знаем, Пуанкаре уже изучал группы движений мозаик (1882). Он заново рассмотрел эти ранние результаты с топологической точки зрения (1904), придя к только что приведенной интерпретации. Эта статья оказала значительное влияние на последующую работу Дена (1912) и Нильсена (1927) и косвенно ответственна за недавнюю вспышку интереса к гиперболической геометрии.

Более общее понятие фундаментальной группы у Пуанкаре (1895) также оказало влияние за пределами топологии. Оказывается, например, что для любой «достаточно описанной» фигуры можно вычислить порождающие элементы и определяющие соотношения для

фундаментальной группы Определяющие соотношения фундаментальной группы могут быть вполне произвольными [действительно, полностью произвольными, как показали Ден (1910) и Зейферт и Трельфаль (1934) с. 180]. Поэтому возникает вопрос: можно ли из этих определяющих соотношений определить свойства группы? Хотелось бы знать, например, когда два различных множества соотношений определяют одну и ту же группу. Последний вопрос поставил Тице (1908) в первой статье, которая последовала за работой Пуанкаре. Тице сделал замечательную догадку, которую в то время не смогли даже точно сформулировать, что задача неразрешима. Несомненно, Адьян (1957) показал, что задача об изоморфизме для групп, как ее стали называть, неразрешима в том смысле, что ни один алгоритм не может разрешить вопрос для всех конечных множеств определяющих соотношений. Результат Адьяна основывался на разработке теории алгоритмов, которые в общих чертах описаны в следующей главе.

Объединяя результат Адьяна с некоторыми результатами Тице (1908) и результат Зейферта и Трельфаля, упомянутый выше, Марков (1958) смог показать неразрешимость задачи о гомеоморфизме. Это задача принятия решения, заданная «достаточно описанными» фигурами и гомеоморфна ли к [Полное доказательство неразрешимости задачи об изоморфизме и задачи о гомеоморфизме можно найти у Стиллуэлла (1993), и его историю можно найти у Стиллуэлла (1982).] Таким образом, построение фундаментальной группы Пуанкаре привело, в конце концов, к совершенно неожиданному выводу: основная задача топологии неразрешима.