12.78. Параметризация кубических кривых

Чтобы увидеть, как построить параметризующие функции для кубических кривых, мы вначале должны воспроизвести

параметризующие функции

для круга делая вид, что мы знаем эту кривую не геометрически, а только как алгебраическую зависимость между х и у.

Синусоидальную функцию можно определить как обратную функции которая, в свою очередь, определима как интеграл

Наконец, интеграл можно рассматривать как следствие уравнения потому что подынтегральное выражение просто Почему мы скорее используем это подынтегральное выражение, чем любое другое, чтобы определить следовательно, получить х как функцию Ответ заключается в том, что мы тогда получаем у как следовательно, и функции параметра и. Это подтверждается следующим вычислением:

и

следовательно, (которая, конечно,

В точности такое же построение можно использовать, чтобы параметризовать любое отношение вида Мы полагаем

чтобы получить и затем находим, что дифференцированием и. Поэтому в некотором смысле параметризовать кривые вида (которые, как мы знаем из раздела 8.4, должны включать все кубические кривые, вплоть до проективного преобразования тривиально. Как мы увидим в следующем разделе, интегралы изучались с 1600-х гг. для многочлена 3-й и 4-й

степени; однако, никто не думал обращать их до почти 1800 года. Якоби глубоко знал и интегралы, и обращение, когда он написал свою загадочную статью [Якоби (1834)], указывающую зависимость между интегралами и рациональными точками на кривых (см. разделы 11.6 и 12.5). Поэтому, представляется вероятным, что он понимал предшествующую параметризацию, хотя в явном виде такую параметризацию впервые дал Клебш (1864)

Упражнения

(см. скан)